Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Решите задачи:

1. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD. Найдите сторону AD параллелограмма, если АВ = 6√2, ∠ADB = 30°, ∠BDC = 45°.

2. Биссектриса одного из углов параллелограмма делит его сторону на отрезки 10 и 14.

а) Найдите периметр параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма, если большая его высота равна 6.

3. Стороны параллелограмма равны 3√3 и 2, а угол между ними равен 30°.

а) Найдите длину меньшей диагонали.

б) Найдите длину большей диагонали.

Решение:

1. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD. Найдите сторону AD параллелограмма, если АВ = 6√2, ∠ADB = 30°, ∠BDC = 45°.

∠BDC = ∠ABD = 45° (накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей BD)

Рассмотрим треугольник ABD и воспользуемся теоремой синусов:

Ответ: 12.

2. Биссектриса одного из углов параллелограмма делит его сторону на отрезки 10 и 14.

а) Найдите периметр параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма, если большая его высота равна 6.

∠BHA = ∠HAD как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей АН. При этом ∠ВАН = ∠HAD, т.к. АН - биссектриса. Следовательно, ∠ВАН = ∠BHA и Δ ABH - равнобедренный со сторонами АВ = ВН = 10.

а) Периметр - это сумма длин всех сторон. В нашем случае для нахождения периметра параллелограмма воспользуемся формулой

Р = (АВ + ВС) · 2 = (10 + 24) · 2 = 68.

б) По логике бóльшая высота параллелограмма будет опущена на сторону АВ, значит, чтобы найти его площадь надо основание умножить на высоту, проведенную к нему, т.е.

S = АВ · h = 10 · 6 = 60.

Ответ: Р = 68, S = 60.

3. Стороны параллелограмма равны 3√3 и 2, а угол между ними равен 30°.

а) Найдите длину меньшей диагонали.

б) Найдите длину большей диагонали.

Если угол С равен 30°, то угол D будет равен 150°, т.к. эти углы являются односторонними при параллельных прямых. Из этого следует, что диагональ BD будет меньше диагонали АС, т.к. она лежит напротив меньшего угла.

а) По теореме косинусов выразим BD:

б) Т.к. ABCD - параллелограмм, то его противоположные стороны равны, следовательно, АD = BC = 3√3.

По теореме косинусов выразим АС:

*соs150° я нашла по формуле приведения. Формула, кстати, выглядит так:

cos(180° - α) = -cosα

Для нашего значения: cos150° = cos(180° - 30°) = -cos30° = -√3/2

 

Ответ: 7.

#762

ТОП 15 примеров из раздела "Параллелограмм / ромб"

В ромбе ABCD угол АВС равен 84°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
#484
Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=15 и CH=2. Найдите высоту ромба.
#671
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
#514
Диагонали ромба относятся как 2 : 5. Периметр ромба равен 116. Найдите высоту ромба.
#575
Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите бо́льшую высоту.
#356
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке Е, лежащей на стороне ВС. Докажите, что Е - середина ВС.
#843
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей равна 72. Найдите углы ромба.
#726
Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите АВ, если ВС = 40.
#375
Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.
#468
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
#479
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 12.
#370
Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка Р - середина стороны CD. Докажите, что АР - биссектриса угла BAD.
#844
В ромбе ABCD угол АВС равен 156°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
#598
Угол А параллелограмма в 4 раза больше угла D. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
#574
Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до нее равно 1. Найдите площадь этого ромба.
#481