Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей равна 72. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть дан ромб ABCD с диагоналями, которые пересекаются в точке О.

Расстояние от точки до прямой – это перпендикуляр, значит, ОН – высота треугольника АОD, которая равна 18.

Что мы знаем о ромбе?

То, что диагонали точкой пересечения делятся пополам и то, что диагонали являются биссектрисами углов. Что ж, используем эту информацию, чтобы решить эту задачу.

Сразу можно найти длину отрезков АО и ОС:

АО = ОС = 72 : 2 = 36.

Рассмотрим треугольник АОН. Он прямоугольный. Выразим синус угла ОАН.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит

Из этого следует, что ∠ОАН = 30°. 

А ∠А в два раза больше ∠ОАН, т.е. ∠А = 60° (т.к. диагонали ромба делят угол пополам; это оговаривалось выше).

Углы А и В – односторонние при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей АВ, следовательно ∠В = 180° – ∠А = 180° - 60° = 120°.

Помимо этого у ромба противоположные углы равны, значит, ∠А = ∠С = 60° и ∠В = ∠D = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#726

ТОП 15 примеров из раздела "Параллелограмм / ромб"

В ромбе ABCD угол АВС равен 84°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
#484
Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=15 и CH=2. Найдите высоту ромба.
#671
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
#514
Диагонали ромба относятся как 2 : 5. Периметр ромба равен 116. Найдите высоту ромба.
#575
Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите бо́льшую высоту.
#356
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке Е, лежащей на стороне ВС. Докажите, что Е - середина ВС.
#843
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей равна 72. Найдите углы ромба.
#726
Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите АВ, если ВС = 40.
#375
Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.
#468
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
#479
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 12.
#370
Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка Р - середина стороны CD. Докажите, что АР - биссектриса угла BAD.
#844
В ромбе ABCD угол АВС равен 156°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
#598
Угол А параллелограмма в 4 раза больше угла D. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
#574
Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до нее равно 1. Найдите площадь этого ромба.
#481