а) Решите уравнение 4*16^cosx-9*4^cosx+2=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; -π/2].

Обратим внимание на степени. Показатель степени один и тот же, а 16 – это ни что иное, как 4 в квадрате. Целесообразно сделать следующую замену:

уравнение примет вид

Получилось обычное квадратное уравнение с неизвестным t. Решаем через дискриминант.

Это еще не всё. Делаем обратную замену. Вместо t подставляем 4 в степени cosx.

Для наглядности нарисую тригонометрический круг, чтобы показать, как найти общие решения этих двух маленьких уравнений.

Есть такое стишок: «Вы запомните, ребята, синус – это ордината». У нас же в уравнениях косинус. Значит, косинус – это абсцисса (выделено красным). На этой самой красной линии отмечаем ½ и -1

Приступим ко второй части. Определим, какие из корней принадлежат промежутку [-2π; -π/2].

Есть несколько способов для решения этой проблемы. Я расскажу, как мне кажется, наиболее понятный и не требующий запоминания каких-либо лишних формул. Этот способ связан с оборотами по тригонометрическому кругу. За количество оборотов отвечает переменная n, собственно именно поэтому она должна принадлежать множеству целых чисел Z.

Если мы вместо n подставляем положительное число, значит следует рассматривать круг по часовой стрелке. Если отрицательное – против часовой.

Попробуем сделать 1 оборот по часовой стрелке, т.е. вместо n подставим 1. 

При обороте по часовой стрелке все корни являются положительными. И само собой не принадлежат отрицательному промежутку.

Попробуем сделать 1 оборот против часовой стрелки, т.е. вместо n подставим -1.

Небольшой лайфак. Чтобы определить принадлежность промежутку того или иного корня в тригонометрических уравнениях просто откиньте π и работайте с обычными числами. Например,

Не благодарите :)