Наверх
Решения Теория Заказать обучениеИдеи для учителя

Задачи с практическим содержанием

Два друга Петя и Вася задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счет гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт. Петя и Вася сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 38 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, - равно 100 см.

1. Длина зонта в сложенном состоянии равна 25 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,2 см.

2. Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

3. Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС=R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

4. Вася нашел площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S=2πRh, где R – радиус сферы, а h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Васи. Число π округлите до 3,14.  Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

5. Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был у Пети и Васи. Каждый треугольник с учетом припуска на швы имеет площадь 1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошла в обрезки?

#847
Брюки дороже рубашки на 20%, а пиджак дороже рубашки на 44%. На сколько процентов пиджак дороже брюк?
#841
В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 20 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - два штрафных очка, за каждый последующий промах - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 11 штрафных очков?
#836
Прототипы задания 1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень).
#789
На плане изображен многофункциональный культурно-образовательный комплекс, который состоит из нескольких корпусов и обнесен забором прямоугольной формы (сторона каждой клетки на плане 3 м). Вход на территорию комплекса и выход осуществляется через единственные ворота. От входа через весь комплекс проходит главная аллея, вдоль которой стоят восемь фонарей. При входе на территорию комплекса разбит яблоневый сад (цифра 3 на плане). В начале сада находится подсобное помещение, а в глубине - детская площадка площадью 144 кв. м. За яблоневым садом расположено административное здание. Справа от входа - здание магазина (цифра 6 на плане) и образовательная оранжерея. Главная аллея площадью 153 кв. м. вымощена тротуарной плиткой 1,5 м х 1,5 м. Дорожка от главной аллеи к административному зданию имеет ширину 1,5 м и вымощена такой же плиткой. В ночное время территория комплекса освещается фонарями.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность цифр.

Объекты Подсобное помещение Образовательная оранжерея Административный комплекс Детская площадка Прогулочная оранжерея
Цифры          

2. Во время строительства комплекса была использована тротуарная плитка, которую доставляли на стройку в виде упаковок по 5 штук в каждой. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы уложить аллею и дорожку?

3. Какую часть яблоневого сада занимает подсобное помещение? Ответ дать в процентах, при необходимости округлить с точностью до 0,01.

4. Какое максимальное количество детей может одновременно находится на детской площадке, если по нормам на каждого ребенка положено не менее 7 квадратных метров?

5. В образовательной оранжерее решили посадить редкие виды цветов. Какое максимальное количество растений можно посадить, если количество посадок не должно превосходить числа, которое вычисляется по формуле n = sa, где s - площадь оранжереи, а = 75%.

6. Руководство комплекса планирует заменить уличные фонари. Они есть двух видов: с классическими светильниками или светодиодными. В таблице указаны стоимость опоры, стоимость лампы, монтаж для одного фонаря, средняя потребляемая мощность и стоимость электроэнергии.


Стоимость опоры Стоимость лампы Монтаж Средняя потребляемая мощность Стоимость электроэнергии
Фонарь с классическим светильником 5 400 руб 200 руб 16 300 руб  440 кВт 3,7 руб/кВт · ч
Фонарь со светодиодным светильником 6 830 руб 440 руб 18 330 руб 40 кВт 3,7 руб/кВт · ч

Изучив предлагаемые варианты, руководство решило устанавливать фонари со светодиодными светильниками. Через сколько часов непрерывной работы таких фонарей экономия от их использования компенсирует разность в стоимости установки по сравнению с фонарями с классическими светильниками.

7. Найдите площадь, которую занимает административный комплекс. Ответ дайте в квадратных метрах.

8. Найдите расстояние от административного здания до магазина (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

9. В прогулочной оранжерее решили повесить праздничные флажки. Для этого натянули два троса, каждый через две максимально удаленные точки (по диагонали). Под каким углом пересекаются эти тросы?

10. В яблоневом саду решили вырыть пруд круглой формы, радиус которого 6 м. Какая площадь останется для яблонь после появления пруда? Ответ дайте в квадратных метрах. Площадь круга вычисляется по формуле S = πR2, где π = 3, R - радиус.

#769
Каждый водитель в Российской Федерации должен быть застрахован по программе обязательного страхования гражданской ответственности (ОСАГО). Стоимость полиса получается умножением базового тарифа на несколько коэффициентов. Коэффициенты зависят от водительского стажа, мощности автомобиля, количества предыдущих страховых выплат и других факторов. Коэффициент бонус-малус (КБМ) зависит от класса водителя. Это коэффициент, понижающий или повышающий стоимость полиса в зависимости от количества ДТП в предыдущий год. Сначала водителю присваивается класс 3. Срок действия полиса, как правило, один год. Каждый последующий год класс водителя рассчитывается в зависимости от числа страховых выплат в течение истекшего года, в соответствии со следующей таблицей.

1. Борис страховал свою гражданскую ответственность два года. В течение первого года была сделана одна страховая выплата, после этого выплат не было. Какой класс будет присвоен Борису на начало третьего года страхования?

2. Чему равен КБМ на начало третьего года страхования?

3. Коэффициент возраста и водительского стажа (КВС) также влияет на стоимость полиса (см. таблицу).

Когда Борис получил водительские права и впервые оформил полис, ему было 20 лет. Чему равен КВС на начало 3-го года страхования?

4. В начале второго года страхования Борис заплатил за полис 28 985 руб. Во сколько рублей обойдётся Борису полис на третий год, если значения других коэффициентов (кроме КБМ и КВС) не изменятся?

5. Борис въехал на участок дороги протяжённостью 3,8 км с камерами, отслеживающими среднюю скорость движения. Ограничение скорости на дороге – 80 км/ч. В начале и в конце участка установлены камеры, фиксирующие номер автомобиля и время проезда. По этим данным компьютер вычисляет среднюю скорость на участке. Борис въехал на участок в 14:28:23, а покинул его в 14:30:47. Нарушил ли Борис скоростной режим? Если да, на сколько км/ч средняя скорость на данном участке была выше разрешённой?

#760
Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Первое число означает ширину В шины (ширину протектора) в миллиметрах (см. рисунок). Второе число — отношение высоты боковины Н к ширине шины В в процентах. Последующая буква указывает конструкцию шины. Например, буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции. За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). По сути, это диаметр d внутреннего отверстия в шине. Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины. Последний символ в маркировке - индекс скорости. Возможны дополнительные маркировки, означающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие. Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них шины с маркировкой 185/70 R14. Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1. Какой наименьшей ширины шины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам?
2. Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
3. На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить шины, установленные на заводе, на шины 195/70 R14?
4. На сколько метров увеличится путь, пройденный автомобилем, когда колесо сделает 1000 оборотов, если заменить шины установленные на заводе шинами с маркировкой 195/70 R14? Округлите результат до целых.
5. Спидометр автомобиля, собранного на заводе, показывает скорость точно. На сколько процентов показания спидометра будут отличаться от реальной скорости, если заменить шины, установленные на заводе шинами с маркировкой 195/70 R14? Округлите результат до десятых.
#759
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Если лист формата A0 разрезать пополам, получаются два листа формата A1. Если лист A1 разрезать пополам, получаются два листа формата A2 и так далее. При этом отношение длины листа к его ширине у всех форматов, обозначенных буквой A, одно и то же (то есть листы всех форматов подобны друг другу). Это сделано специально — чтобы можно было сохранить пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта при этом тоже соответственно изменяется). В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от AЗ до A6.
 Порядковые номера Ширина (мм) Длина (мм)
1 210 297
2 297 420
3 105 148
4 148 210

1. Для листов бумаги форматов А6, А5, А4 и А3 определите, какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице. Заполните таблицу ниже, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр.

Форматы бумаги А6 А5 А4 А3
         

2. Сколько листов бумаги формата А6 получится при разрезании одного листа бумаги формата А0?

3. Найдите длину меньшей стороны листа бумаги формата А2. Ответ дайте в миллиметрах.

4. Найдите площадь листа бумаги формата А5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

5. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, т.е. 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А3 так же, как этот текст, напечатанный шрифтом высотой 10 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется до целого.

#720
Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений (см. таблицу). Первое число означает ширину В шины (ширину протектора) в миллиметрах (см. рисунок). Второе число — отношение высоты боковины Н к ширине шины В в процентах. Последующая буква указывает конструкцию шины. Например, буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции. За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). По сути, это диаметр d внутреннего отверстия в шине. Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины. Возможны дополнительные маркировки, означающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие. Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них шины с маркировкой 175/60 R15. Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1. Какой наименьшей ширины шины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

2. На сколько миллиметров радиус колеса с маркировкой 195/60 R14 больше, чем радиус колеса с маркировкой 165/70 R14?

3. Найдите диаметр D колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в сантиметрах.

4. На сколько миллиметров уменьшится диаметр D колеса, если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой 195/45 R16?

5. На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой 195/55 R15? Округлите результат до десятых.

#718
Миша летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Николаевке. Миша с дедушкой собираются съездить на велосипедах в село Игнатьево на железнодорожную станцию. Из Николаевки в Игнатьево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Свистуху до деревни Берёзовки, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Игнатьево. Есть и третий маршрут: в Свистухе можно свернуть на прямую тропинку, которая идёт мимо пруда прямо в Игнатьево. По шоссе Миша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке 15 км/ч. Расстояние по шоссе от Николаевки до Свистухи равно 16 км, от Николаевки до Берёзовки — 36 км, а от Берёзовки до Игнатьево 15 км.

1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность четырёх цифр.

Населенные пункты д. Березовка с. Игнатьево д. Николаевка д. Свистуха
 Цифры        

2. Сколько километров проедут Миша с дедушкой, если они поедут по шоссе через Берёзовку?

3. Найдите расстояние от д. Николаевка до с. Игнатьево по прямой. Ответ дайте в километрах.

4. Сколько минут затратят на дорогу Миша с дедушкой, если поедут на станцию через Берёзовку?

5. Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответ укажите сколько минут потратят на дорогу Миша с дедушкой, если проедут этим маршрутом.

#717
Сергей Петрович решил построить на дачном участке теплицу длиной 4 м. Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Сергей Петрович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5 м каждая и покрытие для обтяжки. Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рисунке прямоугольником BCC1B1, где точки B, O и C делят отрезок AD на четыре равные части. Внутри теплицы Сергей Петрович планирует сделать три грядки по длине теплицы — одну центральную широкую грядку и две узкие грядки по краям. Между грядками будут дорожки шириной 40 см, для которых необходимо купить тротуарную плитку размером 20 см х 20 см.

1. Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между соседними дугами было не более 60 см?

2. Сколько упаковок плитки необходимо купить для дорожек между грядками, если она продаётся в упаковках по 6 штук?

3. Найдите ширину теплицы. Ответ дайте в метрах с точностью до десятых.

4. Найдите ширину центральной грядки, если она в два раза больше ширины узкой грядки. Ответ дайте в сантиметрах с точностью до десятков.

5. Найдите высоту входа в теплицу. Ответ дайте в сантиметрах.

#716
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Если лист формата A0 разрезать пополам, получаются два листа формата A1. Если лист A1 разрезать пополам, получаются два листа формата A2 и так далее. При этом отношение длины листа к его ширине у всех форматов, обозначенных буквой A, одно и то же (то есть листы всех форматов подобны друг другу). Это сделано специально — чтобы можно было сохранить пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта при этом тоже соответственно изменяется). В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от AЗ до A6.
 Порядковые номера Ширина (мм) Длина (мм)
1 105 148
2 210 297
3 297 420
4 148 210

1. Для листов бумаги форматов АЗ, А4, А5 и А6 определите, какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице. Заполните таблицу ниже, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр.

Форматы бумаги А3 А4 А5 А6
         

2. Сколько листов бумаги формата А5 получится при разрезании одного листа бумаги формата А0?

3. Найдите длину большей стороны листа бумаги формата А2. Ответ дайте в миллиметрах.

4. Найдите площадь листа бумаги формата АЗ. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

5. Найдите отношение длины большей стороны листа к меньшей у бумаги формата А1. Ответ дайте с точностью до десятых.

#715
На рисунке изображен план однокомнатной квартиры в 16-этажном жилом доме (сторона каждой клетки равна 0,5 м). Окна квартиры выходят на север. При входе в квартиру располагается прихожая, отмеченная на плане цифрой 5. Справа от прихожей находится раздельный санузел: ванная и туалет. Пол в ванной выложен плиткой размером 25 см х 25 см. Кухня расположена в глубине квартиры и имеет смежную стену с ванной. Комната имеет наибольшую площадь из всех помещений. Из комнаты есть выход в большую лоджию, отмеченную на плане цифрой 3.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты комната ванная кухня туалет
Цифры        

2.Плитка для пола продается в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в ванной?

3. Найдите площадь, которую занимает комната. Ответ дайте в квадратных метрах.

4. Найдите расстояние между противоположными углами туалета. Ответ дайте в метрах.

5. В квартире планируется установить интернет. предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешевый вариант. Интернет-провайдер предполагает два тарифных плана.

 Тарифный план Абонентская плата Плата за трафик
План "500" 600 рублей за 500 Мб трафика в месяц 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План "1000" 820 рублей за 1000 Мб трафика в месяц 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб

Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?

#697
На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Ромашка, ул. Солнечная, д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж, а за ним сарай, отмеченный на плане цифрой 4. Площадь, занятая гаражом, равна 60 кв. м. Если войти на территорию участка через ворота, жилой дом окажется по правую руку. Помимо гаража, жилого дома и сарая, на участке имеется баня и теплица, построенная на территории огорода. перед жилым домом имеются яблоневые посадки. К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты гараж теплица дом баня
Цифры        

2. Найдите площадь сарая. Ответ дайте в квадратных метрах.

3. Определите кратчайшее расстояние между баней и гаражом. Ответ дайте в метрах.

4. Найдите площадь участка, не занятую огородом и свободную от строений. Ответ дайте в квадратных метрах.

5. Хозяин участка планирует посадить вдоль границы участка (за исключением ворот) живую изгородь. Он рассматривает два варианта: шиповник и туя. Цены на саженцы и  даны в таблице.

  Стоимость 1 саженца необходимое количество саженцев на 1 метр изгороди обслуживание изгороди в год (полив, формирование)
Шиповник 100 6 5 000
Туя 180 3  7 000

Сколько денег потратит хозяин за первые 5 лет при выборе более экономичного варианта?

#690
На плане изображен дачный участок, расположенный по адресу: Клинский район, дер. Михайловка, Посадская ул., д. 34 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляется через единственные ворота. При входе на участок справа от ворот находится сарай, а слева гараж. Площадь, занятая гаражом, равна 48 кв. м. Жилой дом находится в центре участка. Помимо гаража и жилого дома на участке имеется гостевой дом, отмеченный на плане цифрой 7, а рядом расположена баня. Напротив бани - бассейн, отмеченный цифрой 5. Кроме того, на участке есть теплица. Позади жилого дома - сад. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной гранитной плиткой размером 1 м х 1 м. Между баней и домом, домом и бассейном имеются дорожки, выложенные такой же гранитной плиткой. Также плиткой вымощена площадка при въезде на участок через ворота. К домохозяйству проведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение и водопровод.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты жилой дом сарай баня теплица
Цифры        

2. Тротуарная плитка продается в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом?

3. Найдите площадь жилого дома. Ответ дайте в квадратных метрах.

4. Найдите расстояние по прямой в метрах между ближайшими точками гостевого дома и бассейна.

5. Владелец участка планирует установить в жилом доме отопление. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.

  Нагреватель (котел) Прочее оборудование и монтаж Сред. расход газа/сред. потребл. мощность Стоимость газа/электроэнергии
Газовое отопление 34 000 руб 20 880 руб 1,4 куб. м/ч 5,5 руб./куб. м
Электр. отопление 28 000 руб 18 000 руб 5,8 кВт 6,5 руб./(кВт·ч)

Обдумав оба варианта, владелец решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости установки газового и электрического оборудования?

#687