Наверх
Решения Теория Заказать обучениеИдеи для учителя

Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a : b.

Решение:

Проведем радиусы РР1 и QQ1 в точки касания. Получили два прямоугольных треугольника РР1О и QQ1O (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Треугольники РР1О и QQ1O подобны по двум углам, т.к. ∠РР1О = ∠QQ1О = 90° и ∠Р1ОР = ∠Q1OQ - вертикальные.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

Это значит, что если , то   (1).

Т.к. радиус - это половина диаметра, то   и  .

Произведем замену в формуле (1):

Что и требовалось доказать.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою на наших страницах ОГЭ и ЕГЭ!

#846