Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

По условию задачи AC = 7, BD = 15, MN = 10.

Чтобы найти площадь трапеции надо среднюю линию умножить на высоту. Средняя линия известна, значит задача сводится к нахождению высоты трапеции.

Есть несколько формул для нахождения высоты через диагонали, но они несколько сложноваты для запоминания и совсем не очевидны. Поэтому пойдем окольными путями и сделаем дополнительное построение.

Проведем отрезок СЕ, параллельный диагонали BD. Получим четырехугольник BCED.

BCED - параллелограмм, т.к. СЕ || BD и ВС || DE (DE лежит на продолжении стороны AD, которая параллельна ВС из определения трапеции), значит, СЕ = BD = 15.

Рассмотрим треугольник АСЕ: АС = 7, СЕ = 15, АЕ = AD + DE = AD + BC. Если полусумма оснований равна средней линии, то просто сумма оснований будет равна удвоенной средней линии, значит АЕ = 2MN = 20.

Найдем площадь треугольника ACE по формуле Герона:

p - это полупериметр, р = (15 + 7 + 20)/2 = 21.

Площадь треугольника ACE также можно найти и через высоту, а она нам ох как нужна, потому что высота трапеции и высота треугольника ACE, проведенные к нижнему основанию, равны между собой:

Найдем h.

½ · 20 · h = 42;

h = 4,2.

Найдем площадь трапеции.

S_ABCD = MN · h = 10 · 4,2 = 42.

Ответ: 42.

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.