К двум окружностям с центрами в точках О1, О2, касающимся внешним образом в точке А, проведена общая касательная ВС (В и С - точки касания). Докажите, что угол ВАС - прямой.

Дано:

окр. (О₁, r₁)

окр. (О₂, r₂)

BC - касательная к окружностям

Доказать: ∠ВАС = 90°.

Доказательство:

Проведем О₁О₂, радиусы О₁В и О₂С в точки касания В и С соответственно, общую касательную AD ⊥ О₁О₂, хорды АВ и АС, образующие угол ВАС.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, BD = AD = CD, следовательно, ΔBDA и ΔCDA - равнобедренные и углы при основании у них равны, т.е.

∠ABD = ∠DAB и ∠DAC  = ∠CAD.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Из ΔBDA: ∠BDA = 180° - 2∠DAB.

Из ΔCDA: ∠СDA = 180° - 2∠DAC.

Сложим эти два равенства.

∠BDA + ∠СDA = 180° - 2∠DAB + 180° - 2∠DAC.

∠BDA и ∠СDA - смежные, их сумма равна 180°. Упростим.

180° = 360° - 2(∠DAB + ∠DAC);

∠DAB + ∠DAC = 90º.

Т.к. ∠ВАС = ∠DAB + ∠DAC, то ∠ВАС = 90°.

Что и требовалось доказать.

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.