Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

а) Решите уравнение 2sin(x+пи/3)+cos2x=(sqrt3)cosx+1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3пи; -3пи/2].

Решение:

Для упрощения этого уравнения нам понадобятся две формулы:

Делаем замену, согласно этим формулам, подсчитываем то, что возможно подсчитать.

Приводим подобные слагаемые, выносим общий множитель за скобку.

Отметим на тригонометрической окружности точки, в которых sinx = 0 и sinx = ½, не забывая при этом, что синус - это ордината (красная ось). Проведя линии, перпендикулярные оси ординат, мы упремся в 4 точки: 0, π, π/6 и 5π/6.

Это еще не ответ. По окружности эти точки могут "гулять" и менять свои значения в зависимости от количества оборотов по часовой стрелке и против часовой.

Голубые точки попадают друг в друга, если мы будем делать половину оборота по окружности, т.е. π. Точка π/6 будет попадать в себя после полного оборота окружности, т.е. 2π. То же самое с точкой 5π/6.

Исходя из этих данных, получим следующие корни уравнения:

Теперь определим, какие конкретные корни, без всяких там оборотов, попадут в промежуток [-3π; -3π/2].

Сделать это очень просто по окружности. Начертим новую и отметим на ней, где будет находится нужный нам промежуток.

Невооруженным глазом видно,  что корни -2π и -3π нам подходят, а корень, который у нас шел под точкой 5π/6 вообще лежит не там, где надо, и рассматривать его не имеет смысла. Но какой же корень прячется под точкой, которая изначально была равна π/6?

 

Сделать это очень просто. Мы в эту точку попадаем, когда делаем 1 оборот против часовой стрелки, т.е. когда k = -1. Подставим это значение в общий корень уравнения x = π/6 + 2πk, k ∈ Z.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#530

ТОП 15 примеров из раздела "Уравнения и их системы"

Решите уравнение x^4=(4x-5)^2.
#511
а) Решите уравнение 2sin(x+пи/3)+cos2x=(sqrt3)cosx+1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3пи; -3пи/2].
#530
Решите уравнение (x^2-4)^2+(x^2-3x-10)^2.
#885
Решите уравнение: (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5).
#675
Решите уравнение x^3+3x^2-4x-12=0.
#556
Решите уравнение (x-1)(x^2+8x+16)=6(x+4).
#698
Решите уравнение: (2x-3)^2=(1-2x)^2.
#674
а) Решите уравнение 5*4^(x&2+4x)+20*10^(x^2+4x-1)-7*25^(x^2+4x)=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3; 1].
#746
Решите уравнение (5х+2)(-х-4)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
#662
Решите уравнение cos((8xpi)/6)=(sqrt3)/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
#807
Решите уравнение: (x+5)^3=25(x+5).
#676
Решите уравнение: 10х^2-12х+1=-10х^2.
#679
Решите уравнение: 4/(х-9) + 9/(х-4) = 2.
#678
Решите уравнение и в ответе запишите наибольший положительный корень: tg((pi(x-6))/6)=1/(sqrt3).
#809
Решите уравнение (5х-3)^2=(5x+13)^2.
#808