Решите неравенство 4^(x-3)-71*2^(x-6)+7<=0.

Типичное показательное неравенство, одно из самое простых, попалось мне сегодня для решения.

Воспользуемся свойством степеней aⁿ : a^m = a^n-m, четверку представим как 2 в квадрате и преобразуем левую часть неравенства. Вот что получится:

Домножим обе части неравенства на общий знаменатель 2⁶.

Замена. Пусть 2^х = t, тогда

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле ax² + bx + c =a(x - x₁)(x - x₂), для этого найдем корни квадратного трехчлена.

Решим это неравенство методом интервалов.

Знаки промежутков определяются таким образом: из самого левого промежутка берем какое-нибудь число, например, 65, и подставляем в левую часть неравенства; считаем; определяем знак результата - положительный; ставим плюс. Далее берем число из среднего промежутка,  например, 10. Подставляем в левую часть и видим, что результат отрицательный. Ставим минус. Аналогично действуем с правым промежутком.

В заключении надо сказать, что знак неравенства у нас "меньше или равно", поэтому нас интересует только промежуток со знаком "минус".

Итак, t принадлежит промежутку [7; 64]. Запишем это так:

Делаем обратную замену и находим х.

Ответ: х ∈ [log₂7; 6]

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.