Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Решение:

Дано:

окр. (О1, О1К)

окр. (О2, О2К)

окр. (О, АО)

О1К = 22

О2К = 33

∠А

АВ, АС, ВС - касательные, К ∈ ВС

Доказать: ΔАВС - равнобедренный

Найти: АО

Решение:

Проведем радиус малой окружности ЕО1 ⊥ АВ и радиус средней окружности FО⊥ АВ (радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной).

Проведем О1О2 = О1К + О2К = ЕО1 + FO2 = 22 + 33 = 55 (все радиусы каждой окружности равны).

 

Рассмотрим ΔАЕО1 и ΔАFО2: ∠А - общий, ∠АЕО1 = ∠АFО2 = 90°, следовательно ΔАЕО1 ∼ ΔАFОпо двум углам.

Если треугольники подобны, то стороны одного из них пропорциональны сходственным сторонам другого. Найдем АО1:

Найдем синус угла ЕАО1. Он нам пригодится. Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит, из треугольника ЕАО1

Найдем также длину отрезка АК:

АК ⊥ ВС, т.к. АК - продолжение радиусов О1К и О2К, а ВС - касательная, а мы знаем, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

ВС - хорда большой окружности с центром О. АК делаит ВС пополам (т.к. радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам), т.е. ВК = КС.

Уберем с рисунка все лишнее, оставив треугольник АВС. Рассмотрим его.

 

ΔАВС - равнобедренный, т.к. АК - медиана и высота.

Выпишу все, что мы знаем об этом треугольнике: АК = 132, sin∠BAO = 0,2.

АК также является биссектрисой, значит центр окружности О находится на ней, т.е. О ∈ АК.

ΔАВК - прямоугольный (АК ⊥ ВС), найдем АВ2, используя теорему Пифагора.

АВ2 = ВК2 + АК2;

АВ2 = (АВsin∠BAO)2 + АК2

*если из равенства sin∠BAO = ВК/АВ выразить ВК, то получится АВsin∠BAO

АВ2 = АВ2sin2∠BAO + АК2;

АВ2 - АВ2sin2∠BAO = АК2;

АВ2(1 - sin2∠BAO) = АК2;

АВ2(1 - 0,22) = 1322;

И оформим красивенько:

В треугольнике АВК проведем радиус ОВ и высоту ОН.

Рассмотрим треугольник АОВ: АО = ОВ - радиусы, значит ΔАОВ - равнобедренный. Тогда высота ОН будет являться еще и медианой, т.е. АН = НВ.

Из равенства sin∠ВАО = ОН/АО выразим ОН: ОН = 0,2 · АО.

Т.к. ΔАОН - прямоугольный, то по теореме Пифагора найдем АО:

Ответ: 68,75.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#444