Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение:

Дано: 

ΔАВС - равнобедренный

АС = 12

окр. (О1, О1М)

окр. (О2, О2М)

О2М = 8

М - точка касания

Найти: О1М.

Решение:

Проведем радиусы О1К и О2Р в точки касания К и Р.

Сразу заметим, что радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, и если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны, т.е. О1К || О2Р. Следовательно, четырехугольник КО1О2Р - прямоугольная трапеция.

Проведем в трапеции высоту О1Н.

Получившийся треугольник О1О2Н  - прямоугольный.

Из условия задачи мы знаем, что М - середина АС, значит АМ = АС/2 = 12/2 = 6.

АК = АМ = АР = 6, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки равны. Тогда КР = КА + АР = 6 + 6 = 12 = О1Н (т.к. О1КРН - прямоугольник).

Выразим катет О2Н через О1М: О2Н = О2Р - НР = О2Р - О1К = 8 - О1М (О1К = НР, т.к. О1КРН - прямоугольник; О1К = О1М как радиусы одной и той же окружности).

Выразим гипотенузу через О1М: О1О2 = О1М + 8.

По теореме Пифагора

Ответ: 4,5.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#515