Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB ≠ AC ) как на диаметре построена полуокружность, пе­ре­се­ка­ю­щая высоту AD в точке M, AD=90, MD=69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

Для решения задачи достаточно провести 2 высоты: AD и BD1. Они пересекутся в точке Н.

Продолжим высоту AD. Ее продолжение пересечет окружность в точке D2.

Т.к. ВС – диаметр и AD2 ⊥ ВС, то DD= МD = 69.

АС и АD2 – секущие окружности. По теореме о секущих произведение одной из них на ее внешнюю часть равно произведению другой на ее внешнюю часть, т.е. AD2 · AM = AC · AD1.

Найдем AD2 и AM:

AD2 = AD + DD2 = 90 + 69 = 159;

AM = AD2 - MD - MD2 = 159 - 69 - 69 = 21.

Значит, 159 · 21 = AC · AD1 = 3339

ΔAD1H ∼ ΔADC по двум углам (∠А – общий, ∠AD1H = ∠ADC = 90°). Из подобия треугольников следует, что

Ответ: 37,1.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#559

ТОП 15 примеров из раздела "Задачи повышенной сложности"

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
#515
В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=40, АС=64, точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.
#363
На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB ≠ AC ) как на диаметре построена полуокружность, пе­ре­се­ка­ю­щая высоту AD в точке M, AD=90, MD=69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
#559
Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
#444