В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?

1 область.

Пусть m кг алюминия и n кг никеля добывается в первой области в сутки.

Если 0,2 кг алюминия добывается за 1 человеко-час, то 1 кг алюминия добудут за 5 человеко-часов, а m кг - за 5m человеко-часов.

Если 0,1 кг никеля добывается за 1 человеко-час, то 1 кг никеля добудут за 10 человеко-часов, а n кг - за 10n человеко-часов.

Т.к. в первой области работают 50 человек по 10 часов каждый, то вместе они дают 500 человеко-часов. Составим уравнение:

5m + 10n = 500.

2 область.

Пусть х кг алюминия и у кг никеля добывается во второй области в сутки.

Здесь на добычу алюминия и никеля требуется х² и у² человеко-часов в сутки. Всего во второй области 500 человеко-часов (50 человек отрабатывают по 10 часов каждый).

Составим уравнение:

х² + у² = 500.

Обе области.

В двух областях алюминия добывается (m + x) кг, а никеля - (n + y) кг. Отношение алюминия к никеля в сплаве равно 1 к 2, т.е. на одну порцию никеля надо взять две порции алюминия. Составим уравнение:

2(m + x) = n + y.

Общая масса металлов.

Пусть S = m + x + n + y - общая масса металлов, добываемых в обеих областях. Т.к. n + y = 2(m + x), то 

S = m + x + 2(m + x) = 3(m + x).

Решение системы.

Мы получили систему из четырех уравнений. Наша задача выразить S через одну какую-нибудь переменную (целесообразно взять m или х, т.к. они уже входят в состав четвертого уравнения), тогда мы получим зависимость одной переменной от другой, т.е. функцию.

Выразим из 1-ого уравнения n, из 2-ого - y. Подставим получившиеся выражения в 3-е уравнение вместо n и у.

Из 3-его уравнения выразим m и подставим получившиеся выражение в 4-е уравнение.

Вот она - зависимость переменной S от х.

Нахождение наибольшего значения функции.

Упростим правую часть:

Теперь нам необходимо найти наибольшее значение этой функции. Для этого сначала найдем первую производную от S(x).

Приравняем ее к 0 и найдем нули функции:

х = 10 принадлежит отрезку [0; √500]. Подставим 10 и концы отрезка в функцию и найдем наибольшее значение.

Ответ: 90 кг.

Комментарий. Почему 0 ≤ х ≤ √500?

х не может быть меньше 0, т.к. добыча алюминия не может быть отрицательной;

х не может быть больше √500, т.к. в противном случае подкоренное выражение будет отрицательным.

**Стикер "Памагити" взят из социальной сети "Вконтакте".