15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Если видишь в условии задачи фразу "на одну и ту же", то это задача на дифференцированный платеж. О разнице аннуитетного и дифференцированного платежах можно посмотреть здесь на примерах двух задач.

Распишем, что дано.

S - сумма денег, взятая в кредит

а = 2

n = 24 месяца

m = 1 + 2/100 = 1,02 (полезный коэффициент; увеличитель суммы долга)

x_n  - ежемесячные выплаты

х₁ + ... + х₁₂ = 2 466 000

х₁₃ + ... х₂₄ - ?

Решение:

Если долг на одну и ту же величину меньше, то это говорит о том, что он уменьшается равномерно каждый месяц на S/24 (всю сумму кредита S разделили на 24 месяца).

Помимо этого мы знаем, что каждый месяц долг увеличивается на 2% (в m раз) и делается выплата.

Распишем, что будет происходить с долгом по месяцам (Нас будут интересовать только 1-й, 12 -й, 13-й и 24-й месяцы. Почему? - узнаешь дальше).

Помимо того, что я распишу изменение суммы долга, я сразу выражу выплаты, которые должны будут производиться.

Небольшой комментарий к предыдущей записи. Я не случайно расписала изменение долга за второй месяц. Именно он позволяет мне перепрыгнуть сразу к 12-ому месяцу. Как так получается? Номер второго месяца и числитель в первой дроби в сумме дают 25 (2 + 23), и такая сумма должна быть и в 3-ем, 4-ом, ..., 12-ом, ..., 24-ом месяцах. Если мой месяц идет под номером 12, то в числителе будет стоять число 13, т.к. 12 + 13 = 25; если месяц идет под номером 24, то в числителе дроби будет стоять число 1, которое не пишется, т.к. 1 · S = S.

Как мы уже знаем, долг уменьшается равномерно на одну и ту же сумму, т.е. уменьшается в арифметической прогрессии.

Выразим сумму выплат за первые 12 месяцев по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии. Сама формула выглядит так:

Адаптируя ее под нашу задачу, получим вот что:

Путем несложных преобразований найдем S.

Теперь выразим сумму выплат за последние 12 месяцев.

Преобразуем правую часть уравнения и подставим найденную S:

Ответ: 2034000 рублей.

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.