-
Решения
-
Теория
-
Задачник
-
Идеи для учителя
- Заказать обучение
Дано:
окр. (О1, r1)
окр. (О2, r2)
BC - касательная к окружностям
Доказать: ∠ВАС = 90°.
Доказательство:
Проведем О1О2, радиусы О1В и О2С в точки касания В и С соответственно, общую касательную AD ⊥ О1О2, хорды АВ и АС, образующие угол ВАС.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, BD = AD = CD, следовательно, ΔBDA и ΔCDA - равнобедренные и углы при основании у них равны, т.е.
∠ABD = ∠DAB и ∠DAC = ∠CAD.
Сумма углов в треугольнике равна 180°.
Из ΔBDA: ∠BDA = 180° - 2∠DAB.
Из ΔCDA: ∠СDA = 180° - 2∠DAC.
Сложим эти два равенства.
∠BDA + ∠СDA = 180° - 2∠DAB + 180° - 2∠DAC.
∠BDA и ∠СDA - смежные, их сумма равна 180°. Упростим.
180° = 360° - 2(∠DAB + ∠DAC);
∠DAB + ∠DAC = 90º.
Т.к. ∠ВАС = ∠DAB + ∠DAC, то ∠ВАС = 90°.
Что и требовалось доказать.
Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.