Из концов диаметра АВ окружности опущены перпендикуляры АА1 и ВВ1 на касательную. Докажите, что точка касания С является серединой отрезка А1В1.

Дано:

окр. (О; ОА)

АВ - диаметр

А₁В₁ - касательная

АА₁ ⊥ А₁В₁

ВВ₁ ⊥ А₁В₁

Доказать: С - середина А₁В₁.

Доказательство:

Фигура АВВ₁А₁ - четырехугольник, причем трапеция, т.к. АА₁ ⊥ А₁В₁, ВВ₁ ⊥ А₁В₁ , а значит АА₁ || ВВ₁ (это следует из следующей теоремы: если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны).

Мало того, трапеция - прямоугольная, ведь углы А₁ и В₁ - прямые.

ОС - радиус, проведенный в точку касания, значит ОС ⊥ А₁В₁. Отсюда, ОС || AA₁, OC || BB₁ (это тоже следует из синей теоремы). К тому же АО = ОВ (радиусы), значит, по теореме Фалеса, ОС является средней линией трапеции и А₁С = СВ_1, т.е. С - середина А₁В₁.

Теорема Фалеса звучит так: если на одной из двух прямых (в нашем случае АВ) отложить последовательно несколько отрезков (АО и ОВ) и через их концы (А, О и В) провести параллельные прямые (АА₁,  ОС, ВВ₁), пересекающие вторую прямую (А₁В₁), то они отсекут на второй прямой (А₁В₁) пропорциональные отрезки (А₁С и СВ₁).

Что и требовалось доказать.