Теория вероятностей для сдачи ОГЭ и ЕГЭ
Справится с задачей по теории вероятности можно запросто, если знаешь формулу нахождения вероятности и если повезет с задачей. Пока практика показывает, что на экзамене даются задачи проще, чем на пробнике.
К таким простым задачам будем относить задачи из разряда «на тарелке лежат столько-то пирожков, найти вероятность, что попадется пирожок с вишней», с кубиками/монетками и задачки на подобие «найти вероятность того, что ручка не пишет, если вероятность того, что она пишет равна 0,6».
Все остальные типы задач будем считать сложными, т.к. не каждый сможет к ним подступиться без определенных знаний.
Начнем разбор задач с формулы нахождения вероятности:
P=m:n, где P – вероятность какого-либо события, m – благоприятные события (то, что нас спрашивают в вопросе), n – всевозможные события.
Разберемся с поиском благоприятных событий на примере.
#1.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?
| 1 кубик | 2 кубик | |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 5 |
| 3 | 6 | 4 |
Это и есть все благоприятные события. Итого, их 3.
Ответ: 3.
Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.
Простейшие задачи на нахождение вероятности.
#2.
На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.
Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.
Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.
Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.
P=6:15=0,4.
!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.
Ответ: 0,4.
#3.
На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.
Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.
Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.
P=2:10=0,2
Ответ: 0,2
#4.
Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.
Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.
Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#5.
Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.
Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.
Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.
Р=12:20=0,6
Ответ: 0,6
#6.
В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.
Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.
Р=995:1000=0,995
Ответ: 0,995
#7.
В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.
Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.
Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#8.
В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.
Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.
Всевозможные события – это все банки. Их 5.
P=4:5=0,8
Ответ: 0,8.
Из простых задач остались самые элементарные.
Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1.
Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.
Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.
#9.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Р=1-0,06=0,94
Ответ: 0,94.
Задачи с кубиками.
Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.
У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.
Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.
6количество кубиков=всевозможные события
Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.
#10.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.
| 1 кубик | 2 кубик | 3 кубик | |
| 1 | 1 | 3 | 6 |
| 2 | 1 | 4 | 5 |
| 3 | 1 | 5 | 4 |
| 4 | 1 | 6 | 3 |
| 5 | 2 | 2 | 6 |
| 6 | 2 | 3 | 5 |
| 7 | 2 | 4 | 4 |
| 8 | 2 | 5 | 3 |
| 9 | 2 | 6 | 2 |
| 10 | 3 | 1 | 6 |
| 11 | 3 | 2 | 5 |
| 12 | 3 | 3 | 4 |
| 13 | 3 | 4 | 3 |
| 14 | 3 | 5 | 2 |
| 15 | 3 | 6 | 1 |
| 16 | 4 | 1 | 5 |
| 17 | 4 | 2 | 4 |
| 18 | 4 |
3 |
3 |
| 19 | 4 | 4 | 2 |
| 20 | 4 | 5 | 1 |
| 21 | 5 | 1 | 4 |
| 22 | 5 | 2 | 3 |
| 23 | 5 | 3 | 2 |
| 24 | 5 | 4 | 1 |
| 25 | 6 | 1 | 3 |
| 26 | 6 | 2 | 2 |
| 27 | 6 | 3 | 1 |
Итого, благоприятных событий 27, а всевозможных – 63=216.
Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.
Ответ: 0,13.
#11.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
С двумя кубиками совсем просто.
Всевозможных событий - 62=36
Благоприятных событий - 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)
Р=3:36=0,08333
Ответ: 0,08
Задачи с монетами.
Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.
2количество монет=всевозможные события
#12.
Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.
О – орел, Р - решка
| О | О |
| Р | Р |
| О | Р |
| Р | О |
Благоприятных – 1
Всевозможных – 4
Р=1:4=0,25
Ответ: 0,25
#13.
Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что на выпадут два орла и одна решка.
Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.
| О | О | О |
| О | О | Р |
| О | Р | О |
| О | Р | Р |
| Р | О | О |
| Р | О | Р |
| Р | Р | О |
| Р | Р | Р |
Благоприятных событий 3.
Р=3:8=0,375
Ответ: 0,375.
На этом приятности заканчиваются, и начинаются неприятности.
Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.
В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно.
Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.
О чем это говорит? Если в задаче нам даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать. Если даны вероятности несовместных событий, то их будем складывать.
И – умножаем
ИЛИ - складываем
#14.
В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.
Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.
Возможны несколько случаев.
1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.
2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.
3) 3 лампы остаются гореть. И первая, и вторая, и третья. Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.
Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:
Р=0,384+0,096+0,008=0,488
И решим задачу вторым способом. Более коротким.
Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512
Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488
Ответ: 0,488
#15.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.
Команду ожидают две игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя способами. Либо они одерживают победу в обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную формулу:
(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)
Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.
Ответ: 0,32.
Успехов в учебе!
Автор статьи, но не задач: Васильева Анна
