Проценты.

Будучи еще школьницей задачи на проценты вызывали у меня дикий ужас. Как только в задачах появлялся коварный знак % в моих мыслях было только одно – это конец.

Когда я пришла работать в школу деваться мне было некуда: через тему не перескочишь – детям надо объяснить, что это и научить их решать задачи.

Тогда-то проценты перестали вселять в меня панику потому, что я в них окончательно разобралась. Теперь я смело могу сказать: «Проценты! Я вас не боюсь!».

В этой статье я попробую помочь тебе разобраться в них.

Начнем с определения.

Процент – это одна сотая часть чего-то (числа, пирога, расстояния и др.). Математически записать это можно так:

Как видите использовать можно и обыкновенные дроби, и десятичные.

Если 1% - это 0,01, то 2% - это 0,02, 3% - это 0,03 и т.д.

Т.е. чтобы перевести процент в дробь, надо число, стоящее перед знаком процента, разделить на 100. Работает и обратное: чтобы перевести дробь в проценты надо умножить ее на 100.

Сразу хочется отметить, что вся величина (число, пирог и др.) представляет собой 100%, т.е. нечто целое.

Вообще, вычислений с использованием процентов почти нет. Исключение составляют сложение и вычитание процентов. В остальных случаях их переводят в дроби.

Если ты умеешь работать с дробями, то, в принципе, проблем с процентами быть не должно.

При решении задач с процентами главную роль играет умение находить часть от числа и число по его части.

Чтобы найти часть от числа надо число умножить на часть.

Сразу приведу пример.

#1. Найдем 3/5 от 60.

Для этого 60 * 3/5 = 180 : 5 = 36.

#2. Найдем 30% от 60.

Переводим проценты в дробь: 30% = 0,3.

А теперь просто находим 0,3 от 60:

60 * 0,3 = 18.

Чтобы найти число по данному значению его части надо это значение разделить на дробь.

Рассмотрим также 2 примера.

#3. Найдем число, если 0,5 его равны 13.

Разделим значение числа на часть: 13 : 0,5 = 26.

#4. Найдем число, если 15% его равны 9.

Снова переводим проценты в дробь.

15% = 0,15.

Делим значение на часть: 9 : 0,15 = 60.

Видишь, что ничего сложного нет!

Предлагаю перейти к задачам.

Возьмем несколько задачек из 5 класса.

#5. В плодовом саду собирали яблоки. За день было собрано 4 840 кг. 25% собранных яблок отправили в магазин, а остальные – на склад. Сколько килограммов яблок отправили на склад?

Эту задачу можно решить двумя способами.

1 способ: найти сколько кг яблок отправили в магазин, а потом из всего количества яблок вычесть магазинные.

2 способ: найти сколько процентов яблок отправили на склад и найти это количество в килограммах.

Возьмем второй способ.

Если в магазин отправили 25% яблок, то на склад ушло – 100% - 25% = 75% яблок.

Найдем 75% от 4 840. Для этого переводим проценты в дробь, а затем число умножаем на нее.

75% = 0,75.

4 840 * 0,75 = 3 630 кг яблок отправили на склад.

Ответ: 3 630 кг

#6. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

В этой задаче нам предстоит найти число по его части, т.к. нам известно, что ученик прочитал лишь часть книги, а не всю книгу.

Для нахождения страниц в книге переведем проценты в дробь, а затем значение страниц, которое нам дано, разделим на дробь.

23% = 0,23.

138 : 0,23 = 600 страниц в книге.

Ответ: 600 страниц.

#7. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют мальчики?

Сначала найдем какую часть мальчики составляют от учащихся школы.

Для этого мальчиков разделим на всех детей.

357 : 700 = 0,51.

Осталось эту дробь перевести в проценты, т.е. умножить на 100.

0,51 = 0,51 * 100 = 51%.

Ответ: 51%.

И, напоследок, возьмем несколько задачек из ЕГЭшного сборника.

#8. Розничная цена учебника 230 рублей, она на 15% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 8 200 рублей?

Что ж, найдем оптовую цену на один учебник.

Составим и решим пропорцию.

Пусть 230 рублей – это 115%, тогда

                х рублей – это 100%.

Чтобы найти количество учебников, которое можно купить на 8 200 рублей, надо 8 200 : 200 = 41 учебник.

Ответ: 41.

#9. Флакон шампуня стоит 190 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1 000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?

Найдем сколько рублей составляет скидка.

35% = 0,35

190 * 0,35 = 66,5 рублей.

Найдем стоимость шампуня с учетом скидки.

190 – 66,5 = 123,5.

Найдем сколько бутыльков шампуня можно купить на 1 000 рублей.

1 000 : 123,5 = 8.

Ответ: 8.

#10. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 11% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,32 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребенку весом 5 кг в течение суток?

Если на 1 кг требуется 1,32 мг активного вещества, то на 5 кг необходимо

1,32 * 5 = 6,6 мг.

Рассчитаем массу активного вещества в одной таблетке, т.е. найдем 11% от 20.

11% = 0,11

20 * 0,11 = 2,2.

Если одна таблетка содержит 2,2 мг активного вещества, то 6,6 мг активного вещества содержат три таблетки (6,6 : 2,2 = 3).

Ответ: 3.

Если ты смог разобраться, то ты - большой молодец! Задачи из ОГЭ и ЕГЭ тебе по плечу!

Конечно, текстовые задачи на растворы тут не описаны, хотя они тоже содержат проценты, но это уже совсем другая статья... 

Успешной сдачи экзаменов! Остались вопросы? Напиши мне.

С уважением, Васильева Анна.