Линейные уравнения: как решать?
Линейным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная переменная встречается исключительно в первой степени, в том числе после преобразований, и не находится в знаменателе. В общем виде такое уравнение выглядит так:
ax + b = 0.
Впервые мы сталкиваемся с линейными уравнениями в начальной школе.
Давайте на простейших примерах вспомним, как нас учили их решать, и как метод решения изменился при дальнейшем обучении.
| Начальная школа | Средняя школа |
| Пример 1. Найдите корень уравнения х + 4 = 10. | |
| х является неизвестным слагаемым, чтобы его найти надо из суммы вычесть известное слагаемое, т.е. х = 10 - 4, откуда х = 6. | Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую с противоположными знаками. Для нашего уравнения переносим только 4 со знаком "минус", т.е. получим х = 10 - 4 или х = -4 + 10. И так, и так х = 6. |
| Пример 2. Найдите корень уравнения х - 4 = 10. | |
| х является неизвестным уменьшаемым, чтобы его найти надо к разности прибавить вычитаемое, т.е. х = 10 + 4, откуда х = 14. | Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую с противоположными знаками. Для нашего уравнения переносим только 4 со знаком "плюс", т.е. получим х = 10 + 4 или х = 4 + 10. И так, и так х = 14. |
| Пример 3. Найдите корень уравнения 10 - х = 4. | |
| х является неизвестным вычитаемым, чтобы его найти надо из уменьшаемого вычесть разность, т.е. х = 10 - 4, откуда х = 6. |
Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую с противоположными знаками. Для нашего уравнения подойдут 2 способа решения: 1) Переносим только 10. Тогда -х = 4 - 10; -х = -6: х = 6. 2) Переносим и х, и 4. Тогда 10 - 4 = х; х = 6. |
| Пример 4. Найдите корень уравнения 2х = 6. | |
| х является неизвестным множителем, чтобы его найти надо произведение разделить на известный множитель, т.е. х = 6 : 2, откуда х = 3. |
Нужно сделать так, чтобы коэффициент перед х равнялся 1, т.к. 1 · х = х. Сейчас коэффициент перед х равен 2. Чтобы двойку превратить в 1, надо 2 разделить на 2. Но только левую часть уравнения мы на 2 разделить не можем, поэтому делим еще и правую часть. Поэтому учителя обычно и говорят, что надо обе части уравнения разделить (в данном случае) на 2. Получаем х = 3. |
| Пример 5. Найдите корень уравнения х : 2 = 6. | |
| х является неизвестным делимым, чтобы его найти надо делитель умножить на частное, т.е. х = 6 · 2, откуда х = 12. |
В средней школе подобное уравнение редко встретишь в таком виде, т.к. обычно деление заменяют дробной чертой и уравнение принимает такой вид: В этом случае мы должны избавится от знаменателя, умножив дробь х/2 на 2 (в этом случае двойки сократятся и останется только х). И опять же домножаем на 2 не только левую часть, но и правую. По аналогии с предыдущим примером говорят, что мы умножаем на 2 обе части уравнения и получаем х = 12. |
. Почему оно линейное? Да потому, что деление на 2 можно заменить умножением на ½ и уравнение станет таким же, как в примере 4, только с другим числовым коэффициентом.А вот уравнение 6 : х = 2 уже не будет линейным, т.к. заменив знак деления дробной чертой х окажется в знаменателе, а это говорит о том, что уравнение дробно-рациональное. Хотя в начальной школе мы их тоже решали: здесь х является неизвестным делителем, а чтобы его найти надо делимое разделить на частное. И, конечно, надо понимать, что на 0 делить нельзя (х ≠ 0).
Конечно, подобные уравнения, кроме как в началке, вам не встретятся. Поэтому я разберу еще парочку примеров.
Пример 6. Найдите корень уравнения 3(х - 4) - 7х = 8.
Такое уравнение требует от нас умения раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые.
Напомню, что при умножении числа на скобку это число умножается на всё, что в этих скобках находится. А то знаете, многие очень любят умножать число перед скобкой на что-то одно. Поэтому, в нашем случае, на 3 умножается и х, и -4. Получаем такое уравнение:
3х - 12 - 7х = 8.
Теперь хочется сразу перенести известные в одну сторону, а неизвестные - в другую и привести подобные слагаемые. Но я сделаю поэтапно. Сначала сделаем перенос:
3х - 7х = 8 + 12. Заметили, что знак у 12 поменялся? Так происходит потому, что мы к обеим частям уравнения прибавили 12 (да, так тоже можно делать). Только в левой части -12 испаряется (т.к. -12 + 12 = 0), а в правой появляется +12.
Приводим подобные:
-4х = 20. А здесь выбирайте любой способ решения: либо находите неизвестный множитель, либо обе части делите на -4. Я предпочитаю разделить, поэтому
х = -5.
Ответ: -5.
Пример 7. Найдите корень уравнения 
.
Уж очень сильно нам мешаются знаменатели! Избавимся от них, умножив обе части уравнения на общий знаменатель. Общим знаменателем будет число 15, т.к. 15 делится без остатка и на 3, и на 5, и на 15.
- такое преобразование уравнения обычно не пишут, а сразу сокращают 15 со знаменателями и получают следующее уравнение:
3х + х = -10.
Приводим подобные слагаемые:
4х = -10.
Обе части делим на 4:
х = -2,5.
Ответ: -2,5.
Успехов в учебе!
С уважением, Васильева Анна.
