Квадратные уравнения

Квадратное уравнение - это уравнение вида ах² + bx + c = 0 (при а ≠ 0).

Рассмотрим несколько видов квадратных уравнений.

1. Неполные квадратные уравнения - это такие уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Пусть с = 0, тогда уравнение примет вид ах² + bx = 0.

Такое уравнение решается с помощью вынесения общего множителя x (возможно с числовых коэффициентом, если такой будет иметься) за скобку.

Пусть b = 0, тогда квадратное уравнение примет вид ах²  + c = 0.

Чтобы решить такое уравнение надо выразить x² и извлечь корень.

Пусть b = 0 и с = 0. Тогда уравнение примет вид ax² = 0.

Такое уравнение также решается через выражение х².

2. Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых числовые коэффициенты b и c отличны от 0 (Число а по умолчанию не равно нулю, помнишь? В противном случае, уравнение перестанет быть квадратным).

В основном их решают через дискриминант по формуле D = b² - 4ac. Возможны три случая:

КОРОЧЕ! Квадратное уравнение всегда имеет два корня! Вот такие дела) К сожалению, школьная алгебра слишком поверхностна для таких чудес.

Примеры.

3. Приведенные квадратные уравнения - это уравнения, в которых a = 1. Прекрасно решаются через дискриминант.

Но я не могу пройти мимо теоремы Виета. Она, конечно, работает и для полных квадратных уравнений, чутка по-другому правда, но речь не об этом.

Чаще всего теорема Виета используется именно для приведенных квадратных уравнений, т.к. она доступна для всех умов. На ней я и остановлюсь.

Итак, дано уравнение х² + bx + c = 0.

Если его корни равны х₁ и х₂, то должны выполнятся два равенства:

1) x₁ · x₂ = c;

2) x₁ + x₂ = -b.

В чем смысл? При решении приведенного квадратного уравнения мы должны подобрать корни таким образом, чтобы их произведение равнялось свободному члену с, а сумма равнялась коэффициенту b только с противоположным знаком. И этот подбор происходит в мозгу намного быстрее, чем расписывание дискриминанта и прилегающих к нему формул. Ты просто пишешь уравнение, а потом сразу к нему ответ. Клёво же?!

Конечно, без тренировок никуда; надо как следует потренироваться, чтобы в дальнейшем не возникало трудностей. А если корни подобрать невозможно, значит дискриминант отрицательный или корни дробные/иррациональные.

Решим по теореме Виета следующее приведенное квадратное уравнение:

Вот и всё!

Скажу по секрету, что решать уравнения с отрицательным дискриминантом ты тоже научишься, но это уже совсем другая история...)

Удачи!