Система аксиом Гилберта. Аксиомы группы 3 и 4.

Аксиомы конгруэнтности (равенства).

1) Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу такая, что АВ = А'В'.

2) Если А'В' = АВ и А''В'' = АВ, то А'В' = А''В''.

3) Пусть А - В - С, А' - В' - С', АВ = А'В' и ВС = В'С', тогда АС = А'С'.

4) Пусть даны ∠hk и флаг (О', h', λ') [если О' - некоторая точка, h' - луч, исходящий из O', а λ' - полуплоскость с границей h, то О', h', λ' называется флагом], тогда в полуплоскости λ' существует единственный луч k', исходящий из точки O' такой, что ∠hk = ∠h'k'.

5) Пусть А, В, С и А', В', С' - две тройки точек, не лежащих на одной прямой. Если АВ = А'В', ВС = В'С', АС = А'С', ∠ВАС = ∠В'А'С', то ∠АВС = ∠А'В'С'.

Аксиомы непрерывности.

1) (Аксиома Архимеда) Пусть АВ и CD - отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А₁, А₂, ... , А_n таких, что выполняются условия:

   а) А - А₁ - А₂, А₁ - А₂ - А₃, ... , А_n-2 - A_n-1 - A_n;

   б) АА₁ = А₁А₂ = ... = А_n-1A_n = СD;

   в) А - В - A_n.

2) (Аксиома Кантора) Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А₁В₁, А₂В₂, ... , из которой каждый последующий отрезок лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное число n такое, что A_nB_n < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности, причем М - единственная.

Аксиома параллельности.

Пусть а - произвольная прямая, А - точка, не лежащая на прямой а. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.

При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя!

С уважением, Васильева Анна.