Система аксиом Гилберта. Аксиомы группы 1 и 2.

Аксиомы принадлежности определяет свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом "принадлежит".

1) Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, проходящая через эти точки.

2) Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

3) На каждой прямой лежат по крайней мере 2 точки. Существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

4) Каковы бы ни были три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость α, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

5) Каковы бы ни были три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

6) Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости α, то каждая точка прямой а лежит в плоскости α.

7) Если две плоскости α и β имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.

8) Существует по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Аксиомы порядка.

1) Если А - В - С, то А, В, С - различные точки одной и прямой и С - В - А.

2) Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ такая, что А - В - С.

3) Среди любых трех точек прямой существует не более одной, лежащей между двумя другими.

4) (Аксиома Пáша) Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, а а - прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она также проходит через точку отрезка АС или ВС.

При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя!

С уважением, Васильева Анна.