Понятие о математической структуре

Возьмем конечную систему непустых множеств Е, F, G. Обозначим через Δ₁, Δ₂, ... , Δ_k некоторые отношения на системе множеств Е, F, G. Потребуем, чтобы они обладали свойствами А₁, А₂, ... , А_t.

Определение. Пусть даны непустые множества М₁, М₂, ... , М_n. Всякое подмножество Δ, лежащее в М₁ × М₂ × ... × М_n, называется n-арным отношением, определяемым во множествах М₁, М₂, ..., М_n. Говорят, что элементы m₁, m₂, ... , m_n (m_i ∈ M_i) находятся в отношении Δ, если (m₁, m₂, ... , m_n) ∈ Δ.

Может случиться так, что с заданными свойствами существует не одна система, а несколько.

Например, Δ - алгебраическая операция на множестве действительных чисел R, и мы требуем, чтобы это отношение обладало только свойством А₁ (коммутативностью): для любых a, b из R верно, что Δ(a, b) = Δ(b, a). Можно указать 2 коммутативные операции на R (два значения отношения Δ, обладающие свойством А₁): Δ' - сложение, Δ'' - умножение.

Обозначим через Т множество всех систем δ={Δ₁, Δ₂, ... , Δ_k} отношений Δ₁, Δ₂, ... , Δ_k, каждое из которых обладает заданными свойствами А₁, А₂, ... , А_t.

Если Т - нулевое, то говорят, что элемент δ из множества Т определяет на множествах Е, F, G математическую структуру рода Т; А₁, А₂, ... , А_t - аксиомы структур рода Т; Е, F, G - базы структуры рода Т.

Пример. Структура Евклидова пространства по Гилберту.

Базы структуры: Е - точки, F - прямые, G - плоскости.

На системе множеств Е, F, G существуют отношения Δ₁, Δ₂, Δ₃, которые обозначаются словами "лежит на", "лежит между", "равны".

Список аксиом состоит из 20 аксиом.

При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя!

С уважением, Васильева Анна.