Измерение отрезков. Теорема единственности.

Пусть L - множество всех отрезков, R₊ - множество положительных чисел (без нуля). Говорят, что установлено измерение отрезков, если определено отображение l: L → R₊, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) если [AB] = [A'B'], то l(AB) = l(A'B');

2) если А - В - С (точка B лежит между А и С), то l(AB) + l(ВС) = l(АС);

3) существует единичный отрезок PQ такой, что l(PQ) = 1.

Теорема. Если выбран единичный отрезок PQ, то существует не более одного отображения l: L → R₊, удовлетворяющее трем аксиомам измерения отрезков.

Доказывается с помощью трех лемм методом от противного.

Лемма 1. Пусть установлено измерение отрезков с единицей измерения PQ. Если точки  А₀, А₁, ... , А_n расположены так, что А₀ - А₁ - А₂, А₁ - А₂ - А₃, ... , А_n-2 - A_n-1 - A_n и A₀A₁ = A₁A₂ = A_n-1A_n = PQ, то |A₀A_n| = n.

Лемма 2. Пусть установлено измерение отрезков. Если AB < CD, то |AB| < |CD|.

Лемма 3. Пусть установлено измерение отрезков. Если точка О - середина отрезка АВ, то |АО| = |ОВ| = ½|АВ|.

Теорема представлена без доказательства. При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя.

С уважением, Васильева Анна.