Интерпретация систем аксиом. Изоморфизм структур.
Возьмем конечную систему непустых множеств Е, F, G. Обозначим через Δ1, Δ2, ... , Δk некоторые отношения на системе множеств Е, F, G. Потребуем, чтобы они обладали свойствами А1, А2, ... , Аt.
Определение. Пусть даны непустые множества М1, М2, ... , Мn. Всякое подмножество Δ, лежащее в М1 × М2 × ... × Мn, называется n-арным отношением, определяемым во множествах М1, М2, ..., Мn. Говорят, что элементы m1, m2, ... , mn (mi ∈ Mi) находятся в отношении Δ, если (m1, m2, ... , mn) ∈ Δ.
Может случиться так, что с заданными свойствами существует не одна система, а несколько.
Например, Δ - алгебраическая операция на множестве действительных чисел R, и мы требуем, чтобы это отношение обладало только свойством А1 (коммутативностью): для любых a, b из R верно, что Δ(a, b) = Δ(b, a). Можно указать 2 коммутативные операции на R (два значения отношения Δ, обладающие свойством А1): Δ' - сложение, Δ'' - умножение.
Обозначим через Т множество всех систем δ={Δ1, Δ2, ... , Δk} отношений Δ1, Δ2, ... , Δk, каждое из которых обладает заданными свойствами А1, А2, ... , Аt.
Если Т - нулевое, то говорят, что элемент δ из множества Т определяет на множествах Е, F, G математическую структуру рода Т; А1, А2, ... , Аt - аксиомы структур рода Т; Е, F, G - базы структуры рода Т.
___________
Пример. Структура Евклидова пространства по Гилберту.
Базы структуры: Е - точки, F - прямые, G - плоскости.
На системе множеств Е, F, G существуют отношения Δ1, Δ2, Δ3, которые обозначаются словами "лежит на", "лежит между", "равны".
Список аксиом состоит из 20 аксиом.
___________
Мы должны быть уверены, что существует база, допускающая структуру некоторого рода, т.е. что соответствующая система аксиом непротиворечива. Допустим, что мы нашли конкретное множество М, на которое можно придать конкретный смысл отношениям Δ1, Δ2, ... , Δk так, что все аксиомы А1, А2, ... , Аt будут выполнены. Тогда говорят, что построена интерпретация систем аксиом А1, А2, ... , Аt, а само множество М называется моделью структуры рода Т.
Пусть на М' мы придали конкретный смысл Δ'1, Δ'2, ... , Δ'k отношениями Δ'j так, что все аксиомы А1, А2, ... , Аt выполнены. Можно сказать, что на множестве М' определена структура δ' ∈ Т. Пусть на М'' так же определена δ'' ∈ Т с конкретным смыслом Δ''1, Δ''2, ... , Δ''k отношений Δ''j.
Структуры δ' и δ'' (и модели М' и М'') называются изоморфными, если существует биекция f: М' → M'' | (x', y', ... , v') ∈ Δ'j тогда и только тогда, когда элементы x', y', ... , v', принадлежащие М', находятся в отношении Δ'j и соответствующие элементы f(x'), f(y'), ... , f(v') находятся в отношении Δ''j.
___________
Пример. Пусть Т - род структуры абелевой группы. Рассмотрим 2 конкретные структуры рода Т:
1) δ' - множество действительных чисел R как аддитивная группа;
2) δ'' - множество R+ (без нуля) как мультипликативная группа.
Рассмотрим биекцию f: R+ → R по закону: для любых х из множества положительных чисел f(x) = lnx.
Т.к. ln(xy) = lnx + lny, то f(xy) = f(x) + f(y) ⇒ δ' и δ'' - изоморфны.
При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя!
С уважением, Васильева Анна.
