Прототипы 20-ого задания из основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике с комментариями. Выберите верные утверждения.

1. Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части. (Биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой)

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. (Только в квадрате)

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. (Радиус - это отрезок от центра до любой точки, лежащей на окружности)

Ответ: 13

2. Укажите номера верных утверждений.

1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. (Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров, а центром вписанной окружности - точка пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры и биссектрисы совпадают, поэтому совпадают и центры вписанной и описанной окружностей)

2) Существует квадрат, который не является ромбом. (Естественно!)

3) Сумма углов любого треугольника равна 180°. (Одна из первых теорем, которую мы изучаем)

Ответ: 13

3. Какие из следующих утверждений верны?

1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. (Радиус - это отрезок от центра до любой точки, лежащей на окружности)

2) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту. (Нет, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту)

3) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. (Используем неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем: 1+2<4...сразу видим, что длина одной стороны больше суммы двух других, продолжать проверять смысла нет. Неверно.)

Ответ: 13

4. Какие из следующих утверждений верны?

1. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Нет такого признака равенства треугольников)

2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (почему бы и нет, попробуй)

3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. (Радиус - это отрезок от центра до любой точки, лежащей на окружности)

Ответ: 23

5. Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. (Нет, сумма смежных углов равна 180, поэтому если один из них острый, то другой - тупой)

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. (Одно из свойств квадрата. Забыл? Сделай рисунок)

3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности. (Это сильно похоже на определение окружности, так что верно)

Ответ: 23

6. Укажите номера верных утверждений.

1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны. (Один из признаков подобия)

2) Сумма смежных углов равна 180°. (Одна из первых теорем, которые мы учим по учебнику Атанасяна)

3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой. (Нет, только та, которая проведена из вершины)

Ответ: 12

7. Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Да, можно)

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. (Используем неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем: 1+2<4...сразу видим, что длина одной стороны больше суммы двух других, продолжать проверять смысла нет. Неверно.)

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат. (Да, т.к. противоположные углы в ромбе равны, то в этом случае никаких других углов не получится)

4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. (Не обязательно)

Ответ: 13

8.Укажите номера верных утверждений.

1) Существует квадрат, который не является прямоугольником. (Нет; квадрат - частный случай прямоугольника)

2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. (Это верно, для примера можно нарисовать равнобедренный треугольник, ведь у него есть два равных угла)

3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны. (Теорема о накрест лежащих углах)

Ответ: 23

9. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. (Такое может быть, если оба угла равны 45, но число 90 можно получить разными способами, поэтому неверно)

2) Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°. (да, т.к. сумма смежных углов равна 180)

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны. (Верно, т.к. сумма односторонних должна равняться 180 при параллельных прямых)

4) Через любые три точки проходит не более одной прямой. (Если три точки не лежат на одной прямой, то никакую прямую нельзя провести; если три точки лежат на одной прямой, то можно провести одну прямую; получается, что верно)

Ответ: 234

10. Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны. (Теорема о вписанных углах)

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек. (Рисунок определенно тебе поможет в этом, а так - определенно неверно)

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются. (Да, тоже можно это понять с помощью рисунка)

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. (Да, т.к. вписанный угол в 2 раза меньше дуги, на которую он опирается)

Ответ: 34

11. Какие из следующих утверждений верны?

1) Через любые три точки проходит не более одной окружности. (Через три точки можно нарисовать либо одну окружность, либо ни одной. Верно.)

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек. (Верно, рисунок в помощь)

3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не пересекаются. (Рисунок в помощь, неверно, окружности пересекутся)

4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°. (Да, т.к. вписанный угол в 2 раза меньше дуги, на которую он опирается)

Ответ: 124

12. Какие из следующих утверждений верны?

1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. (Вообще-то 360)

2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. (Нет, противоположные углы у параллелограмма равны)

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам. (Ага)

4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. (Не факт, это может быть и трапеция, к примеру)

Ответ: 3

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. (Прямоугольник - частный случай параллелограмма, и у него диагонали равны, поэтому верно)

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб. (Ромб тоже частный случай параллелограмма и его диагонали делят углы пополам. Верно)

3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. (Нет, такие углы являются односторонними при параллельных сторонах параллелограмма, а их сумма равна 180)

4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°. (Да, т.к. сумма всех углов четырехугольника равна 360)

Ответ: 124

14. Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности. (Вершины треугольника лежат на окружности и соответственно несколько таких окружностей провести не получится)

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности. (Дурацкий вопрос...одну точно можно вписать, поэтому как бы верно)

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис. (Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности вообще-то)

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. (Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности)

Ответ: 12

15. Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности. (Одну точно можно, поэтому верно)

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника. (Треугольник с такими сторонами является прямоугольным, тогда центр описанной окружности будет лежат в середине гипотенузы. Верно.)

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей. (Точно)

4) Около любого ромба можно описать окружность. (Ромб - четырехугольник. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов в этом четырехугольнике будет равна 180. Поэтому вокруг ромба можно описать окружность, если этот ромб - квадрат. Значит, неверно)

Ответ: 123

16. Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии. (Центр окружности является центром симметрии и он единственный)

2) Прямая не имеет осей симметрии. (Прямая имеет бесконечное множество осей симметрии, т.к. осью симметрии является перпендикуляр, проведенный через середину прямой, а т.к. прямая бесконечна, то и таких перпендикуляров можно прочертить бесконечно много)

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. (Верно, даже рисунок прикреплю)

4) Квадрат не имеет центра симметрии. (Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей)

Ответ: 3

17. Какие из следующих утверждений верны?

1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии. (Верно, три оси проходят через противоположные вершины, и еще три оси проходят через середины противоположных сторон)

2) Прямая не имеет осей симметрии. (Прямая имеет бесконечное множество осей симметрии, т.к. осью симметрии является перпендикуляр, проведенный через середину прямой, а т.к. прямая бесконечна, то и таких перпендикуляров можно прочертить бесконечно много)

3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. (Ога)

4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии. (Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии и ей является прямая, содержащая его высоту, проведенную к основанию)

Ответ: 13

18. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. (Проверяем по теореме Пифагора верность равенства: 10² - 6² = 8². Верно.)

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. (Не)

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. (Тоже не, не хватает еще парочки равных углов)

4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным. (Судя по сторонам, то этот треугольник прямоугольный. А про определение вида треугольника можно почитать здесь)

Ответ: 1

19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. (Там должен быть косинус; неверно)

2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. (Используя теорему Пифагора проверяем равенство 5² + 12² = 13². Все верно, значит так оно и есть)

3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным. (Остроугольным треугольник будет тогда, когда квадрат его большей стороны будет меньше суммы квадратов двух других сторон. Проверяем. 7² < 5² + 6², неравенство верное, значит треугольник действительно остроугольный)

4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета. (Да, теорема Пифагора)

Ответ: 234

20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. (Не обязательно)

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. (Еще на 2 надо разделить)

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. (По формуле надо половину произведения сторон умножить на синус угла в 30 градусов. При подсчете ответ 10 там никак не получается)

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10. (По формуле площади параллелограмма надо произведение его смежных сторон умножить на синус угла между ними. Вот тут 10 получается. Верно)

Ответ: 4

21. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности. (Должно быть половина произведения периметра на радиус описанной окружности)

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6. (Площадь ромба находится через половину произведения его диагоналей: (3 · 4) : 2) - 6. Верно.)

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту. (Да, причем в 2 раза)

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов. (Да, тоже в 2 раза)

Ответ: 234

22. Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Верно)

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. (Используем неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем: 1+2<4...сразу видим, что длина одной стороны больше суммы двух других, продолжать проверять смысла нет. Неверно.)

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат. (В точку)

4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. (Не факт)

Ответ: 13

23. Укажите номера верных утверждений.

1) Через любую точку проходит не менее одной прямой. (И одна, и две, и три, и т.д.)

2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. (Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны)

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. (Сумму, равную 90, можно получить разными способами, а при параллельных прямых накрест лежащие углы должны быть равны)

Ответ: 12

24. Укажите номера верных утверждений.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны. (Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны)

2) Через любые три точки проходит не более одной прямой. (Если точки не лежат на одной прямой, то через них проходят 0 прямых; если точки лежат на одной прямой, то через них проходит 1 прямая. Всё верно.)

3) Сумма вертикальных углов равна 180°. (Нет, вертикальные углы всего лишь равны)

Ответ: 12

25. Укажите номера верных утверждений.

1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований. (На сумму)

2) Через любые две точки можно провести прямую. (Можно)

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой. (Верно)

Ответ: 23

26. Укажите номера верных утверждений.

1) В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность. (В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если ее боковые стороны равны полусумме оснований, т.е. не в любую)

2) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам. (Нее, только если этот параллелограмм квадрат, прямоугольник или ромб)

3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. (Так точно!)

Ответ: 3

27. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. (Ну да)

2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат. (Да, квадрат - частный случай параллелограмма и у него диагонали равны и перпендикулярны)

3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. (Так и есть)

Ответ: 123

28. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. (Только та, которая проведена из вершины к основанию)

2) Диагонали прямоугольника равны. (Да)

3) У любой трапеции боковые стороны равны. (Только у равнобедренной)

Ответ: 2

29. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. (Это теорема, между прочим)

2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. (На грани фантастики)

3) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат. (Где-то это уже было... Верно!)

Ответ: 13

30. Укажите номера верных утверждений.

1) Смежные углы равны. (Это вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180)

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. (Параллельные не имеют)

3) Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°. (Да)

Ответ: 3

31. Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°. (Сумма смежных углов равна 180, а в этом случае получается 200)

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. (Да, это формулировка теоремы)

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая. (Через любую точку можно провести бесконечно много прямых)

Ответ: 2

32. Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки. (Три прямые либо не имеют общей точки, либо имеют, но только одну. Верно.)

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°. (Сумма смежных углов равна 180. Тут так не получается)

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3. (Ага, нарисуй рисунок и убедись)

Ответ: 13

33. Укажите номера неверных утверждений.

1) При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°. (Накрест лежащие углы равны и их сумма не всегда равна 180)

2) Диагонали ромба перпендикулярны. (Да)

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис. (Это для вписанной окружности так, а не для описанной)

Ответ: 13

34. Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали параллелограмма равны. (Не всегда)

2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. (Т.к. ромб - это частный случай параллелограмма, то такая формула ему тоже подходит)

3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. ("Угол между ними" вообще-то)

Ответ: 2

35. Какие из следующих утверждений верны?

1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. (Неравенство треугольника: длина стороны должна быть меньше суммы двух других сторон)

2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. (Только один)

3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. (Так и есть)

Ответ: 13

36. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Нет такого признака)

2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. (Да)

3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. (Неравенство треугольника: длина стороны должна быть меньше суммы двух других сторон)

Ответ: 23

37. Какое из следующих утверждений верно?

1) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. (Не)

2) В параллелограмме есть два равных угла. (Есть)

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. (Забыли пополам разделить)

Ответ: 2

38. Какие из следующих утверждений верны?

1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. (Да, 60 градусов - это максимальный предел для одного из углов)

2) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. (Нет)

3) Все диаметры окружности равны между собой. (Факт)

Ответ: 13

39. Какие из следующих утверждений верны?

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. (Неоднократно было это уже. Используй неравенство треугольников)

2) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам. (180)

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности. (Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной вокруг треугольника окружности)

Ответ: 13

40. Какое из следующих утверждений верно?

1. Все углы ромба равны. (Если ромб - квадрат, то да, а так - нет)

2. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны. (Углы-то могут быть различны. Нет)

3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. (Можно)

Ответ: 3

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.