Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Окружность пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. 1) Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику АРК. 2) Найдите длину отрезка КР, если АК=14, а сторона АС в 2 раза больше стороны ВС.

Решение:

**Отрезок КР на чертеже виден плохо, но он там есть :)

Дано:

ΔАВС

окр. (О; ОВ)

АК=14

АС=2ВС

Доказать: ΔАВС ∼ ΔАРК.

Найти: КР.

Решение:

Пусть ВС=х, тогда АС=2х.

Рассмотрим треугольники АКР и АВС и докажем, что они подобны.

Т.к. четырехугольник КРСВ вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°, т.е.

∠КВС+∠КРС=180°,

∠ВКР+∠РСВ=180°.

Сумма смежных углов равна 180°, значит

∠АКР+∠ВКР=180°,

∠АРК+∠КРС=180°.

Из этих четырех равенств следует, что ∠АКР=∠РСВ, ∠АРК=∠КВС. Добавляем сюда тот факт, что ∠А в треугольниках общий, а это значит, что ΔАКР∼ΔАВС по трем углам.

Что и требовалось доказать.

В подобных треугольниках стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Это значит, что

Подставляем все известные величины, получаем пропорцию, раскрываем ее крест накрест и решаем простейшее уравнение:

Ответ: 7.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#368

ТОП 15 примеров из раздела "Треугольники"

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
#440
В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 6√6. Найдите АС.
#691
Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 18, MN = 8. Площадь треугольника АВС равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.
#555
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите его медиану.
#471
Биссектриса равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите его сторону.
#465
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6 , BC = 8 . Найдите медиану CK этого треугольника.
#513
В треугольнике АВС проведена биссектриса AL, угол ALC равен 62°, угол АВС равен 47°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
#568
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.
#509
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=17, AC=51, NC=32.
#905
Точка H является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК=11.
#367
Сторона треугольника равна 12, а высота, проведенная к этой стороне, равна 33. Найдите площадь треугольника.
#470
Углы В и С треугольника равны соответственно 67° и 83°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 16.
#376
В треугольнике ABC, AB=BC, AC=16, высота CH равна 4. Найдите синус угла ACB.
#167
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3 : 7 : 8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.
#377
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 34. Найдите другой катет этого треугольника.
#463