Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Наибольшее и наименьшее значение функции. Точки максимума и минимума.

Разбираться в теории лучше всего на практическом примере, поэтому возьмем для рассмотрения простенькую функцию

y = -x+ 3x+ 9x - 29 на отрезке [-1; 4].

Исследование этой функции начинается одинаково как для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, так и для нахождения максимума и минимума.

Шаг 1. Находим первую производную.

y' = -3x+ 6x + 9.

Шаг 2. Найдем критические точки, в которых производная либо равна 0, либо не существует. Если проще, то приравняем производную к 0 и найдем корни получившегося уравнения.

-3x+ 6x + 9 = 0    /(:-3)

x- 2x - 3 = 0;

По теореме Виета

х1 = 3;   х2 = -1.

Оба корня принадлежат отрезку.

На этом общий алгоритм заканчивается.

Находим наибольшее/наименьшее значение и максимум/минимум функции по отдельности.

Наибольшее и наименьшее значение функции Точки максимума и минимума

Подставим найденные критические точки и концы отрезка в уравнение функции.

y(3) = -3+ 3*3+ 9*3 - 29 = -2;

y(-1) = -(-1)+ 3*(-1)+ 9*(-1) - 29 = -16;

y(4) = -4+ 3*4+ 9*4 - 29 = -9.

Выбираем наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшее: -2.

Наименьшее: -16

На числовой прямой отметим критические точки и концы отрезка.

Возьмем произвольные числа из получившихся промежутков и подставим в уравнение производной функции. Определим знаки промежутков и расставим стрелочки: если промежуток положительный, то стрелочка пойдет вверх, если отрицательный, то вниз.

По рисунку видно, что

точка максимума равна 4,

а точка минимума равна -1.

 

Успешной сдачи экзаменов!

С уважением, Васильева Анна.