Наверх
Решения Теория Заказать обучениеИдеи для учителя

Теория вероятностей для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Справится с задачей по теории вероятности можно запросто, если знаешь формулу нахождения вероятности и если повезет с задачей. Пока практика показывает, что на экзамене даются задачи проще, чем на пробнике. 

К таким простым задачам будем относить задачи из разряда «на тарелке лежат столько-то пирожков, найти вероятность, что попадется пирожок с вишней», с кубиками/монетками и задачки на подобие «найти вероятность того, что ручка не пишет, если вероятность того, что она пишет равна 0,6».

Все остальные типы задач будем считать сложными, т.к. не каждый сможет к ним подступиться без определенных знаний.

Начнем разбор задач с формулы нахождения вероятности:

P=m:n, где P – вероятность какого-либо события, m – благоприятные события (то, что нас спрашивают в вопросе), n – всевозможные события.

Разберемся с поиском благоприятных событий на примере.

#1.

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?

Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?

  1 кубик 2 кубик
1 4 6
2 5 5
3 6 4

Это и есть все благоприятные события. Итого, их 3.

Ответ: 3.

Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.

Простейшие задачи на нахождение вероятности.

#2.

На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.

Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.

Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.

Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.

P=6:15=0,4.

!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.

Ответ: 0,4.

#3.

На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.

Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.

Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.

P=2:10=0,2

Ответ: 0,2

#4.

Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.

Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.

Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.

Р=5:10=0,5

Ответ: 0,5

#5.

Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.

Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.

Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.

Р=12:20=0,6

Ответ: 0,6

#6.

В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?

Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.

Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.

 Р=995:1000=0,995

Ответ: 0,995

#7.

В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.

Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.

Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.

Р=5:10=0,5

Ответ: 0,5

#8.

В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.

Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.

Всевозможные события – это все банки. Их 5.

P=4:5=0,8

Ответ: 0,8.

 

Из простых задач остались самые элементарные.

Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1. 

Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.

Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.

#9.

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.

Р=1-0,06=0,94

Ответ: 0,94.

Задачи с кубиками.

Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.

У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.

Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.

6количество кубиков=всевозможные события

Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.

#10.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.

  1 кубик 2 кубик 3 кубик
1 1 3 6
2 1 4 5
3 1 5 4
4 1 6 3
5 2 2 6
6 2 3 5
7 2 4 4
8 2 5 3
9 2 6 2
10 3 1 6
11 3 2 5
12 3 3 4
13 3 4 3
14 3 5 2
15 3 6 1
16 4 1 5
17 4 2 4
18 4

3

3
19 4 4 2
20 4 5 1
21 5 1 4
22 5 2 3
23 5 3 2
24 5 4 1
25 6 1 3
26 6 2 2
27 6 3 1

Итого, благоприятных событий 27, а всевозможных – 63=216.

Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.

Ответ: 0,13.

#11.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

С двумя кубиками совсем просто.

Всевозможных событий - 62=36

Благоприятных событий - 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)

Р=3:36=0,08333

Ответ: 0,08

Задачи с монетами.

Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.

2количество монет=всевозможные события

#12.

Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.

О – орел, Р - решка

О О
Р Р
О Р
Р О

Благоприятных – 1

Всевозможных – 4

Р=1:4=0,25

Ответ: 0,25

#13.

Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что на выпадут два орла и одна решка.

Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.

О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р

Благоприятных событий 3.

Р=3:8=0,375

Ответ: 0,375.

На этом приятности заканчиваются, и начинаются неприятности. 

Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.

В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно. 

Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.  

О чем это говорит? Если в задаче нам даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать. Если даны вероятности несовместных событий, то их будем складывать.

И – умножаем

ИЛИ - складываем

#14.

В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.

Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.

Возможны несколько случаев. 

1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.

2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.

3) 3 лампы остаются гореть. И первая, и вторая, и третья. Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.

Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:

Р=0,384+0,096+0,008=0,488

И решим задачу вторым способом. Более коротким. 

Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512

Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488

Ответ: 0,488

#15.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.

Команду ожидают две игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя способами. Либо они одерживают победу в обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную формулу:

(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)

Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.

Ответ: 0,32.

 

Успехов в учебе!

Автор статьи, но не задач: Васильева Анна