Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Теоремы сложения вероятностей событий. Следствие из теорем сложения.

Теорема сложения несовместных событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

AB = V; P(A + B)=P(A) + P(B)

Доказательство (для схемы случаев). Пусть А и В – исходы n испытаний, которые сводятся к схеме случаев. Предположим, что событию А благоприятствуют m случаев, событию В – k случаев. Тогда вероятности событий А, B: 

P(A) = m/n  , P(B) = k/n

P(A) + P(B) = m/n + k/n = (m + k) / n (1)

P(A + B) = (m + k) / n (2)

(1) = (2) (по свойству транзитивности), значит P(A + B) = P(A) + P(B)

Следствия из теоремы.

1) Методом математической индукции можно обобщить для любого числа слагаемых:

2) Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1:

P

3) Вероятность суммы событий, составляющих полную группу равна 1.

Теорема сложения для совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Доказательство. Пусть события А и В – совместны. Тогда событие

События AB и несовместны, т.к.

 

Событие

События AB и несовместны, т.к.

 

Обобщенная теорема сложения.

Вероятность появления хотя бы одного из данных событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Доказательство. Пусть даны A1, A2, … , An.

Событие А – появление хотя бы одного из А(i = 1, … , n).

Рассмотрим событие B – ни одно из Ai не появляется:

События А и В противоположные ⇒ P(A) + P(B) = 1

Если события A1, A2, … , An равновозможные, т.е. P(A1) = P(A2) = ⋯ = P(An) = p , тогда 

 

При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя!

О любой неточности прошу сообщить мне.

С уважением, Васильева Анна.