Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Степени и их свойства

Данная тема очень легкая, если выучить все свойства степеней. Они, кстати, достаточно просты для запоминания.

Перед тем, как перейти в свойствам степеней, разберемся, что такое степень.

Степень - это произведение одинаковых множителей, состоящая из основания и показателя. Наглядно это можно рассмотреть на рисунке ниже.

Показатель степени показывает (масло масляное) сколько раз мы умножаем основание на себя. Это очень хорошо проглядывается на следующих примерах:

Вроде бы ничего сложного нет, правда?

Что ж, время перейти к свойствам.

Свойства степеней.

1. Любое число в первой степени равно самому себе: a1 = a.

Сразу рассмотрим примеры.

21 = 2;

(-10)1 = -10;

01 = 0.

2. Любое число в нулевой степени равно 1: а0 = 1.

Примеры:

20 = 1;

(-3)0 = 1;

00 = 1.

3. Единица в любой степени равна 1: 1n = 1.

4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: an · am = an + m.

Почему так?

Это свойство легко доказать на числовом примере.

23 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25.

Конечно, так никто не расписывает, а сразу пользуется готовой формулой. Вот еще несколько примеров:

34 · 39 · 315 = 34 + 9 + 15 = 328;

(-2)3 · (-2)4 = (-2)3 + 4 = (-2)7.

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: an : am = an - m (a ≠ 0).

Доказывается эта формула тоже очень просто с помощью числового примера: три четверки из числителя сокращаем с тремя четверками из знаменателя и остаются две четверки в числителе, т.е. 42.

Еще парочка примеров:

1510 : 153 : 155 = 1510 - 3 - 5 = 102;

(-3)11 : (-3)5 = (-3)11 - 5 = (-3)6.

6. При возведении степени в степень показатели умножаются: (аn)m = anm.

Примеры:

(22)3 = 22 · 3 = 26;

(53)10 = 53 · 10 = 530.

7. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: (ab)n = anbn.

Примеры:

(5 · 4)2 = 52 · 42;

(2 · 3  · 4 · 5)а = 2а · 3а · 4а ·5а.

8. Чтобы возвести дробь в степень надо и числитель, и знаменатель возвести в эту степень:.

Пример:

9. Степень с дробным показателем можно представить в виде корня некоторой степени по формуле (а > 0, n ≥ 2).

Пример:

10. Чтобы возвести число, отличное от нуля, в степень с отрицательным показателем надо взять число, обратное данному, и возвести его в ту же степень, только без минуса: (a ≠ 0).

Это же правило работает и для дробей:  (a ≠ 0, b ≠ 0).

Примеры:

Все эти свойства срабатывают как в одну сторону, так и в другую. Соберем их в аккуратную табличку.

Напоследок, разберем пример, который может встретиться во второй части ОГЭ по математике. Он, конечно, не охватывает сразу все формулы - только несколько из них.

Нам нужно сократить такую дробь:

Преобразуем знаменатель дроби, дважды использовав формулу по номером 5 из второго столбика таблицы.

Получившиеся частные в знаменателе запишем в виде дробей.

Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту). Нижний ярус этой дроби перейдет в верхний. Это не магия вне Хогвартса, но описывать эти преобразования текстом очень грустно. Если коротенько, то при делении на дробь мы ее переворачиваем и получается, что знаменатель заползает наверх :)

К тому же здесь можно воспользоваться свойством 6 из второго столбика и 42n превратится в 16n.

Переходим к финалу. Преобразуем знаменатель по свойству 7 из второго столбика таблицы (снова) и, наконец-таки, сокращаем дробь!

 

Успехов в учебе!

С уважением, Васильева Анна.