Квадратичная функция и её график
Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax2 + bx + c.
Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.
Начнем, как всегда, с простого)
Стандартная парабола.
Рассмотрим функцию y = ax2. Она также является квадратичной, просто b = c = 0.
При а = 1, мы получим функцию y = x2. Ее график назовем стандартной параболой, или классической (можешь называть как угодно). Начертить её можно с помощью таблицы значений:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.
Вершина этой параболы находится в точке (0; 0). И не забудь про то, что ветви параболы бесконечно поднимаются ввысь и не ограничены точками с координатами (3; 9) и (3; -9).
Еще одна стандартная парабола задается функцией y = -x2 (в этом случае а = -1). Для этого графика я тоже напишу табличку:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:
Сразу напрашивается вывод: если перед х2 стоит положительное число, то ветви параболы направлены вверх, если отрицательное - то вниз.
Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя "на ура".
Параболы со смещенной вершиной.
Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.
Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.
Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x1; y1). Тогда найти эти координаты можно по формулам:
Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.
Координату хО находим по той же формуле, а координату уО можно найти подстановкой координаты хО в функцию.
Без примера не обойтись)
Пример 1.
Дана функция y = x2 - 4x + 4. Найдите вершину параболы и постройте график.
Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.
1 способ: по формулам.
2 способ: подстановкой.
Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.
Итак, получили, что О(2; 0) - вершина параболы. Отмечаем ее на координатной плоскости.
Перед х2 стоит положительное число, значит ветви параболы направлены вверх. Наша задача: нарисовать стандартную параболу, представив, что точка О - начало координат. Если тебе это сложно сделать, то необходимо начертить таблицу значений и уже по ней рисовать параболу.
Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.
Удивительно, но числовой коэффициент перед х2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.
Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.
А если числовой коэффициент лежит в промежутке (-∞; -1) ∪ (1; +∞), то парабола будет прижиматься к оси Оу и занимать меньше места на плоскости.
Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:
К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.
Пусть вершиной первой параболы будет точка А(хА; уА), а вершиной второй параболы - точка B(хB; уB). Вершины буду находить по второму способу (см. выше).
Переходим к таблицам значений.
Голубая парабола.
| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3 |
Зеленая парабола.
| x | -1,5 | -1 | -0,25 | 0 | 1 |
| y | -3 | 1 | 4,5 | 3 | -3 |
Чертим обе параболы по получившимся координатам.
Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.
А ты заметил, что свободный член в уравнении функции - это точка пересечения графика с осью Оу? В обеих функциях свободный член равен 3 и графики пересекают ось Оу в точке с координатами (0; 3).
Практикум по параболам.
Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.
Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.
Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Решение. Коэффициент а, стоящий перед х2, отвечает за направление ветвей параболы, а свободный член с - за пересечение графика с осью Оу.
А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.
Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.
В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.
Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.
Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с < 0. Подходит вариант под номером 1.
В) Ветви направлены вниз, значит а < 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 2.
Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.
График В отличается от остальных тем, что его ветви направлены вниз. За направление ветвей отвечает коэффициент перед х2 - он отрицательный. Отрицательный коэффициент только в функции под номером 3. Значит В-3.
Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)
Итак, рассматриваем график А и выбираем на нем точку с красивыми координатами (красивые значит не дробные). Мне нравится тут вершина. Ее координаты (4; -3). Даже не спрашивайте почему не прорисованы оси; эти задания взяты с сайта ФИПИ)
Теперь эти координаты подставляем в оставшиеся функции: вместо у подставляем -3, а вместо х подставляем 4.
Подставляем в первую функцию: -3 = 2 · 42 - 16 · 4 + 29; -3 = -3 - верно. Значит, А-1.
И остается Б-2.
Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.
Очевидно, что В-2.
На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!
Подставляем в функцию А: 1 = (-4)2 + 4 · (-4) + 1; 1 = 1 - верно. Значит, А-1.
Соответственно, Б-3.
Если ты считаешь, что чего-то не хватает или у тебя есть ещё задания из первой части, связанные с параболами, - напиши мне в VK)
