Логарифм и его свойства
Логарифм - это показатель степени, в которую надо возвести основание степени, чтобы получилось некоторое число.
Ничего не понятно! Будем разбираться на простых примерах.
Пусть дано уравнение: 2х = 4 (2 - основание степени, х - неизвестный показатель степени, 4 - некоторое число).
Это показательное уравнение. Интуитивно понятно, что неизвестная переменная х равна 2, т.к. 22 = 4.
Модернизируем уравнение: 2х = 5.
Хм... И как?
х = 2 - мало, а х = 3 много, т.е. х - это какое-то дробное число, скорее всего, даже иррациональное. В любом случае, точно подобрать не получится, разве что на калькуляторе и с округлением.
И поэтому для таких вот случаев ленивые математики придумали определение логарифма. В общем, корнем этого уравнения будет являться х = log25 (читается: логарифм числа 5 по основанию 2).
Естественно, что у логарифма есть ограничения, числа a и b должны быть положительными и а не должно быть равно 1 (Если пораскинуть мозгами, станет понятно почему).
Пришло время красиво записать полное определение логарифма на математическом языке, с помощью которого ты сможешь решать простейшие показательные уравнения (наподобие тех, что были выше).
Мы рассмотрели самый приятный вид логарифма. Есть еще два вида, десятичный и натуральный.
В десятичном логарифме основание равно 10, а в натуральном - е (е ≈ 2,718...).
Такие логарифмы пишутся немного по-другому:
log10b = lgb;
logeb = lnb.
Основные свойства логарифмов.
Свойства работают в обе стороны, при этом a, b, c - положительные и основания логарифмов не равны 1.
Прототипы заданий из ЕГЭ по математике (ФИПИ). Базовый и профильный уровни.
Задание 1.
Найдите корень уравнения
___________
Для решения этого уравнения используем определение логарифма. Продублирую его еще раз:
Наша задача основание логарифма 3 возвести в третью степень и приравнять выражению в скобках. Уравнение примет вид:
2х - 7 = 33.
При этом важно не забыть, что (2х - 7) должно быть больше нуля. Это важно.
Решаем обычное линейное уравнение:
2х - 7 = 27;
2х = 34;
х = 17.
Надо убедится, что корень подходит области определения логарифма: 2 · 17 - 7 > 0. Неравенство верно.
Ответ: 17.
Задание 2.
Найдите корень уравнения
___________
Основания у логарифмов одинаковые, значит можно приравнять (5х - 23) и 17.
Снова получаем обычное линейное уравнение:
5х - 23 = 17;
5х = 40;
х = 8.
Удовлетворяет ли корень области определения логарифма? Да (5 · 8 - 23 > 0).
Ответ: 8.
Задание 3.
Найдите значение выражения
___________
Воспользуемся 8-м свойством: изменим основание первого логарифма на удобное нам. А еще представим 4 как 2 в квадрате.
Теперь преобразуем второй логарифм, используя свойство 4.
Одинаковые логарифмы сокращаются...
Ответ: 2.
Задание 4.
Найдите значение выражения
___________
Представим основание нижнего логарифма как 82 и по свойству 5 вынесем показатель степени вперед.
Логарифмы сокращаются, остается разделить 1 на ½.
Ответ: 2.
Задание 5.
Найдите значение выражения
___________
У логарифмов одинаковые основания, значит сработает свойство 2.
В какую степени надо возвести число 7, чтобы получилось 49? Правильно, 2.
Ответ: 2.
Задание 6.
Найдите значение выражения
___________
Для дроби используем свойство 7, только наоборот, а затем - свойство 2.
Ответ: 1.
Задание 7.
Найдите значение выражения
___________
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и сократим их.
Поменяем основание у первого логарифма, используя свойство 8.
Представим дробь 5/4 как 4/5 в минус первой степени.
По свойству 4 выносим -1 вперед.
Логарифмы равны и сокращаются.
Ответ: -4.
