Квадратные неравенства. Метод интервалов.
Квадратное неравенство - это неравенство вида ax2 + bx + c ν 0, где вместо ν может стоять любой из четырех знаков: <, ≤, >, ≥. Естественно, что а ≠ 0.
Чтобы воспользоваться методом интервалов при решении квадратных неравенств, надо уметь раскладывать квадратный трехчлен на множители. Посмотреть, как это делается, можно здесь.
Разберемся на примере. Пусть дано такое неравенство:
Чтобы разложить его на множители надо решить квадратное уравнение:
Решаем)
Корни уравнения найдены, теперь можем разложить квадратный трехчлен 3х2 + 4х - 4 на множители:
В исходном неравенстве заменяем левую часть на разложение. Тогда неравенство примет вид:
Разделив обе части на 3 получаем вот такую милашку:
На числовой прямой отмечаем корни решенного нами ранее квадратного уравнения (можно сказать иначе: отмечаем такие числа, при которых левая часть неравенства обращается в ноль). Такими числами будут 2/3 и -2.
Далее определяем знаки трех получившихся промежутков.
Начинаем с правого. Возьмем любое число из промежутка (2/3; +∞); например, 1. Подставим его в левую часть неравенства и определим знак результата. Обе скобки получатся положительными, значит и весь результат будет положительный. Ставим плюс.
Из центрального промежутка (-2; 2/3) возьмем число 0. Подставляем и видим, что первая скобка отрицательная, вторая положительная. При умножении скобок с разными знаками результат получится отрицательный. Ставим минус.
И, наконец, из правого промежутка (-∞; -2) возьмем число -10. Подставляем... Обе скобки будут с отрицательными знаками, а при умножении они дадут положительный результат. Ставим плюс.
Смотрим на знак неравенства: >.
Выбираем положительные промежутки.
Ответ: (-∞; -2) ∪ (2/3; +∞).
