Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом

Чтобы доказать непротиворечивость системы аксиом, достаточно построить какую-либо интерпретацию этой системы аксиом. При построении интерпретации мы должны использовать "достаточно надежные" понятия, относительно которых у нас есть уверенность, что их система внутренне непротиворечива. В этом случае в теории мы не получим двух теорем, отрицающих друг друга. Если не прибегать к математической логике, мы, в лучшем случае, сможем придти к утверждению: система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.

Пусть А - одна из аксиом системы Е. Аксиома А называется зависимой от остальных аксиом система Е, если А является логическим следствием из остальных аксиом системы. Желательно иметь независимую систему аксиом, в которой каждая аксиома независима от другой. В некоторых случаях удается получить такую систему путем вычеркивания из системы Е тех аксиом, которые зависимы от остальных.

Пусть Е - непротиворечивая система аксиом, описывающая свойства отношений Δ₁, Δ₂, ... , Δ_k. Допустим, что существует аксиома А, которая удовлетворяет следующему условию:

1) А сформулирована в терминах теории Г(Е) и, следовательно, не вводит новых отношений;

2) А независима от аксиом системы Е;

3) система аксиом Е ∈ непротиворечива.

В этом случае, система аксиом Е называется неполной. Если же такой аксиомы А не существует, то Е называется полной.

При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя!

С уважением, Васильева Анна.