Наверх
Решения Теория Заказать обучениеИдеи для учителя

Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АВ. Докажите, что точка P равноудалена от прямых ВС, CD и AD.

Решение:

Самое грустное тут - нарисовать чертеж. А хороший чертеж - залог успеха!) Вот, что вышло у меня:

Проведем из точки Р перпендикуляры к прямым ВС (придется ее продолжить), СD и AD. На чертеже они нарисованы оранжевым цветом. Если окажется, что PP1 = PP2 = PP3, то точка Р будет равноудалена от всех перечисленных выше прямых.

Докажем, что это действительно так.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники СРР1 и СРР2: СР - общая, Р1СР = РСР2 (СР - биссектриса). Получается, что треугольники равны по гипотенузе и острому углу. А из равенства треугольников следует, что РР1 = РР2.

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники DРР2 и DРР3: DР - общая, Р3DР = РDР2 (DР - биссектриса). Получается, что треугольники равны по гипотенузе и острому углу. А из равенства треугольников следует, что РР2 = РР3.

3) Если РР1 = РР2 и РР2 = РР3, то РР1 = РР3.

Следовательно, точка Р равноудалена от прямых ВС, CD и AD.

Что и требовалось доказать.

#881