Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?

Решение:

1 область.

Пусть m кг алюминия и n кг никеля добывается в первой области в сутки.

Если 0,2 кг алюминия добывается за 1 человеко-час, то 1 кг алюминия добудут за 5 человеко-часов, а m кг - за 5m человеко-часов.

Если 0,1 кг никеля добывается за 1 человеко-час, то 1 кг никеля добудут за 10 человеко-часов, а n кг - за 10n человеко-часов.

Т.к. в первой области работают 50 человек по 10 часов каждый, то вместе они дают 500 человеко-часов. Составим уравнение:

5m + 10n = 500.

2 область.

Пусть х кг алюминия и у кг никеля добывается во второй области в сутки.

Здесь на добычу алюминия и никеля требуется х2 и у2 человеко-часов в сутки. Всего во второй области 500 человеко-часов (50 человек отрабатывают по 10 часов каждый).

Составим уравнение:

х2 + у2 = 500.

Обе области.

В двух областях алюминия добывается (m + x) кг, а никеля - (n + y) кг. Отношение алюминия к никеля в сплаве равно 1 к 2, т.е. на одну порцию никеля надо взять две порции алюминия. Составим уравнение:

2(m + x) = n + y.

Общая масса металлов.

Пусть S = m + x + n + y - общая масса металлов, добываемых в обеих областях. Т.к. n + y = 2(m + x), то 

S = m + x + 2(m + x) = 3(m + x).

Решение системы.

Мы получили систему из четырех уравнений. Наша задача выразить S через одну какую-нибудь переменную (целесообразно взять m или х, т.к. они уже входят в состав четвертого уравнения), тогда мы получим зависимость одной переменной от другой, т.е. функцию.

Выразим из 1-ого уравнения n, из 2-ого - y. Подставим получившиеся выражения в 3-е уравнение вместо n и у.

Из 3-его уравнения выразим m и подставим получившиеся выражение в 4-е уравнение.

Вот она - зависимость переменной S от х.

Нахождение наибольшего значения функции.

Упростим правую часть:

Теперь нам необходимо найти наибольшее значение этой функции. Для этого сначала найдем первую производную от S(x).

Приравняем ее к 0 и найдем нули функции:

х = 10 принадлежит отрезку [0; √500]. Подставим 10 и концы отрезка в функцию и найдем наибольшее значение.

Ответ: 90 кг.

 

Комментарий. Почему 0 ≤ х ≤ √500?

х не может быть меньше 0, т.к. добыча алюминия не может быть отрицательной;

х не может быть больше √500, т.к. в противном случае подкоренное выражение будет отрицательным.

 

**Стикер "Памагити" взят из социальной сети "Вконтакте".

#745

ТОП 15 примеров из раздела "Экономические задачи"

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
#741
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 10 млн рублей.
#743
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370000 рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
#742
У фермера есть два поля, каждое площадью 15 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 150 ц/га, а на втором - 250 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 180 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 2000 рублей за центнер, а свеклу - по цене 1800 рублей за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
#711
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год – 240 000 рублей.
#141
31 декабря 2016 года Виктор взял в банке 3 972 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Виктор переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Виктор выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
#739
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
#142
В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4 000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале каждого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?
#153
В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?
#745
31 декабря 2018 года заемщик взял 10 000 рублей в кредит под 10% годовых. В банке ему объяснили схему выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк зачисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем заемщик переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы выплатить долг тремя равными ежегодными платежами?
#641