Найти предел последовательности lim((2n+sqrt(n))/(sqrt(n^2)+1)) при n, стремящемся к бесконечности.

Решение:

Подставляем вместо n бесконечность и получаем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы от нее избавится надо числитель и знаменатель разделить на n в старшей степени.

Смотрим в числитель. Здесь старшая степень равна 1, т.к. корень из n можно заменить на n в степени ½, что меньше 1.

В знаменателе старшая степень будет такая же: отбросив единицу в подкоренном выражении у нас останется квадратный корень из n², а он равен n.

Деление на n в числителе не составляет труда, а вот со знаменателем надо не ошибиться. Т.к. знаменатель содержит корень, мы не можем взять и разделить все содержимое в корне на n. Надо n сначала внести под знак корня, другими словами возвести n в квадрат, а потом уже делить. В записи решения это отражено. А дальше - дело техники.

Получившиеся после деления дроби стремятся к 0 потому, что знаменатель бесконечно увеличивается. Остаются только числа 2 в числителе и 1 в знаменателе, которые нужно поделить.