Наверх
Решения Теория Заказать обучениеИдеи для учителя

Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырехугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и KCD подобны.

Решение:

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, значит сумма его противоположных углов равна 180°.

Наиболее часто используемый признак подобия треугольника: по двум углам. К нему и подведем доказательство.

У треугольников KCD и КВА угол К общий. Найдем еще пару равных углов.

∠KCD + ∠BCD = 180° - смежные, т.е. ∠KCD = 180° - ∠BCD.

При этом ∠ВАD + ∠BCD = 180°, т.е. ∠ВАD = 180° - ∠BCD.

Опачки!

Из этих двух равенств следует, что ∠KCD = ∠ВАD.

Итак, мы нашли две пары равных углов в треугольниках КВА и KCD (∠К общий и ∠KCD = ∠ВАD), следовательно, эти треугольники подобны.

Что и требовалось доказать.

#842