Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырехугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и KCD подобны.

Решение:

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, значит сумма его противоположных углов равна 180°.

Наиболее часто используемый признак подобия треугольника: по двум углам. К нему и подведем доказательство.

У треугольников KCD и КВА угол К общий. Найдем еще пару равных углов.

∠KCD + ∠BCD = 180° - смежные, т.е. ∠KCD = 180° - ∠BCD.

При этом ∠ВАD + ∠BCD = 180°, т.е. ∠ВАD = 180° - ∠BCD.

Опачки!

Из этих двух равенств следует, что ∠KCD = ∠ВАD.

Итак, мы нашли две пары равных углов в треугольниках КВА и KCD (∠К общий и ∠KCD = ∠ВАD), следовательно, эти треугольники подобны.

Что и требовалось доказать.

#842

ТОП 15 примеров из раздела "Многоугольники"

Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырехугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и KCD подобны.
#842
В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
#882
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
#798
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 78°, угол CAD равен 40°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
#156
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
#165
Докажите, что диагональ четырехугольника меньше его полупериметра.
#266