Найдите наибольшее значение функции y=((x+9)^2)(x-5)-5 на отрезке [-19; -5].

Найдем первую производную данной функции.

Для этого нам понадобятся две формулы:

1) (uv)' = u'v + uv';       2) C' = 0, где C = const.

y' = ((x + 9)²)'(x - 5) + (x + 9)²(x - 5)' - (5)' =

= 2(x + 9)(x - 5) + (x + 9)² =

= (x + 9)(2(x - 5) + (x + 9)) =

= (x + 9)(3x - 1).

Приравняем производную к 0.

(x + 9)(3x - 1) = 0

x = -9 или x = 1/3.

Корень х = 1/3 не принадлежит промежутку [-19; -5]. Его отбрасываем.

Теперь, т.к. мы ищем наибольшее значение ФУНКЦИИ, то концы отрезка и корень х = -9 подставляем в ФУНКЦИЮ и выбираем наибольшее значение.

y(-19) = (-19 + 9)²(-19 - 5) - 5 = 100 · (-24) - 5 = -2 405;

y(-5) = (-5 + 9)²(-5 - 5) - 5 = 16· (-10) - 5 = -165;

y(-9) = (-9 + 9)²(-9 - 5) - 5 = 0 · (-14) - 5 = -5.

Ответ: -5.